zkouska 22. 1. 2009

1. Necht A1,.. An jsou nahodne jevy na temze pravdivostnim prostoru. (2+2+2body)
   a) kdy jsou tyto jevy sdruzene nezavisle?
   b) kdy jsou tyto jevy neslucitelne?
   c) kdy jsou tyto jevy nezavisle po dvou?

2. Tri strelci strili na kance, ten je zasazen. S jakou pravdepodobnosti strilel prvni, druhy a treti strelec? Uspesnosti jednotlivych strelcu po rade jsou 0.2, 0.4, 0.6. (2+2+2 IIRC)

3. [tady si nejsem zcela jist zadanim]
   Prazak jezdi do prace sockou, na zastavku prijde zcela nahodne, spoj jezdi s periodou 5 minut. X je nahodna velicina udavajici jeho cekani na spoj.
   a) rozdeleni X (2 body)
   b) stredni hodnota X (2 body)
   c) rozptyl X (3 body)
   d) (volne prelozeno) Pst, ze za prvni ctvrtleti (60 dni) nebude cekat celkem dele nez 160 (?) minut
   e) (volne prelozeno) Kdyz vime, ze za prvni ctvrtleti cekal 200 minut, muzeme s 95% spolehlivosti zpochybnit tvrzeni o tom, ze je prumenry interval mezi spoji 5 minut? Napoveda: zkonstruujte nulovou a alternativni hypotezu, urcete intervalovy odhad, pripadne kriticky obor. (? 6 bodu? )

4. Opilec ma sedm klicu na svazku, prebral, a tak je od sebe nepozna. Na zem mu nespadnou, ma je na spagatu. Chlap stoji pred barakem a zkousi odemknout. Dvere jsou svina, pokazdy mu nejak uhnou a tak kdyz ma blbej klic, tak mu nejak vypadnou z ruky a on musi zase nejakej vyzkouset. Jaka je pravdepodobnost, ze:
   a) uspeje nejdrive po sesti(?) neuspesnych pokusech? (3 body?)
   b) neuspeje v prvnich 10 pokusech, kdyz vime, ze v prvnich sesti jiz neuspel? (3 body?)

5. X1,...Xn ~ N(μ, σ²) (3+3+3 body)
   a) jake rozdeleni ma (n^-1)*suma_od_jedne_do_n(Xi) ?
   b) jak vypada nestranny odhad μ?
   c) jak odhadneme rozptyl σ²?

Je to psane z hlavy a za pomoci starsich zadani, tak tam muzou byt nejake chyby. A uz jsou nejaky cas na webu vysledky, tralala :)

Ještě upozorním, že tím metrem má jezdit 2x denně, takže n = 120

A u 5b) bylo ještě "Je tento odhad konzistentní?"

Otazky tady sice nasany uz jsou, ale tohle mozna pomuze.

Attachments:

• past.pdf

Ahoj,
mohl by, prosim, nekdo naspat sve reseni pro priklad 3e ?

u te trojky, je to normalni rozdeleni?

tedy myslel jsem rovnomerne, pardon..

jj taky si myslim :), konkretne R(0,5), tedy EX = 2.5 a varX = 25/12

U te 3e mi jde konkretne o nasledujici problem:

Jelikoz ten nahodny vyber neni z normalniho rozdeleni, tak nemuzu pouzit z-test (X_i maji rovnomerne rozdeleni),
udelam tedy asi asi test (pripadne konf. interval) pro stredni hodnotu zalozeny na CLV, pro ktery ale potrebuji znat
hodnotu S, jak ji ale spocitam, kdyz mam zadany jen soucet X_i a ne jejich jednotlive hodnoty ?

Já jsem se pustil do 3d) a vyšlo mi to 89.5%. Vyšlo vám to stejně?

3d jsem nepocital, ale to 3e vypada vazne nejak podezrele... uz jste to nekdo vyresil?

Mna by tiez zaujimalo nejake ukazkove riesenie 3e), a aj 5b), c), vdaka.

dobry_den wrote:Já jsem se pustil do 3d) a vyšlo mi to 89.5%. Vyšlo vám to stejně?

Preco to mne nevychadza?:)
Isiel si na to cez CLV?

the21st wrote:... a aj 5b), c), vdaka.

b) podle me bude prave ten soucet 1/n * sum(X_i), protoze to je prave bodovy odhad stredni hodnoty a konzistentni bude diky Cebysevove nerovonosti, kterou splnuje,
tedy nevim jestli definice konzistentniho odhadu byla na prednasce (ja ji tam nenasel :)), ale aspon podle toho, co rika Wikipedie...:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Odhad_%28statistika%29

Tedy snad by to nejak z Cebyseva mohlo jit odvodit, jinak nevim....

c) Pokud se tim opet mysli bodovy odhad, tak bych pouzil ten vzorec pro S^2 (ktery primo ma byt odhadem rozptylu, to na prednasce myslim i bylo):

S^2 = 1/(n-1) * sum(X_i - X_s_pruhem)^2, kde X_s_pruhem je prave ten odhad str. hodnoty (tedy 1/n * sum(X_i))

Pokud to nema byt nestranny odhad, tak bych asi sestrojil CI pro rozptyl pro obecne alfa.

Pokud to neni dobre, tak at me prosim nekdo opravi, zpresni...Diky

K te ctyrce mi to pripada nejake moc jednoduche:
a) (6/7)^6 (v prvnich pokusech se nesmi trefit, pak cokoliv)
b) P(10|6) = P(10prunik6)/P(6) = (6/7)^10/(6/7)^6 = (6/7)^4

Příklad 3d)

dobry_den wrote:Já jsem se pustil do 3d) a vyšlo mi to 89.5%. Vyšlo vám to stejně?

Tos asi počítal pro počet jízd n = 60, ale on jezdí 2x denně, takže n = 120. Ale pro takovéto n to nevychází moc pěkně. Pravděpodobnost, že čekal méně, než 160 min, když střední hodnota čekání za čtvrtletí je 300 je dosti malá. Dokonce jsem jí ani nenašel v tabulkách, ale odhaduji, že je v řádech tisícin procent.

Pro n = 60 mi přes CLV pravděpododobnost vyšla Φ(0,89), což odpovídá 81% pravděpodobnosti.

Trojka podle mě:

a) Spojité rovnoměrné rozdělení Ro(0,5)
b) Střední hodnota je polovička čekací doby, tj. 2,5.
c) Rozptyl rovnoměrného rozdělení je (a-b)^2 / 12, tj. 25/12.

d) Pro N = 60 i pro N = 120 už se dá použít CLV.

Střední hodnota součtu E suma X je rovna součtu středních hodnot, takže NEX
Rozptyl součtu nezávislých n.v. je součet rozptylů, takže Nvar X

Počítám P(suma X <= 160):

P(suma X <= 160) = P(suma X - NEX <= 160 - NEX) = P((suma X - NEX)/sqrt(Nvar X) <= (160 - NEX) / sqrt(Nvar X)),
což se podle CLV přibližně rovná Φ( (160 - NEX) / sqrt(Nvar X) ).

To je pro N = 60 rovno Φ(0,89), čili asi 81,3%, a pro N = 120 rovno Φ(-8,85), což už neni v tabulkách, jak je to malý.

Návštěvník wrote:K te ctyrce mi to pripada nejake moc jednoduche:
a) (6/7)^6 (v prvnich pokusech se nesmi trefit, pak cokoliv)
b) P(10|6) = P(10prunik6)/P(6) = (6/7)^10/(6/7)^6 = (6/7)^4

a) zadanie znie: aka je P ze uspesemu otvoreniu predchadzalo NAJVIAC 6 neuspesnych...takze skor by som povedal SUM(i={0,1,2,3,4,5}) ((6/7)^i * 1/7)
b) tam je zas aka je P ze neodomkne skor ako na 11 pokus, to by sa ale blbo pocitalo tak si to prevedme na 1 - P(A) pricom A bude ze otvori maximalne na 10. pokus, kedze mame podmienku ze na prvzch 6 sa mu t nepodarilo tak vzsledok bude 1 - SUM(i={0,1,2,3}) ((6/7)^i * 1/7), mensia vysvetlivka: pre i=0 sa dvere otvorili na 7. pokus, pre i=1 na osmy...pre i=3 na desiaty

vase nazory...? orientoval osm sa podla toho zadania z past.pdf

bla bla wrote: a) zadanie znie: aka je P ze uspesemu otvoreniu predchadzalo NAJVIAC 6 neuspesnych...takze skor by som povedal SUM(i={0,1,2,3,4,5}) ((6/7)^i * 1/7)
b) tam je zas aka je P ze neodomkne skor ako na 11 pokus, to by sa ale blbo pocitalo tak si to prevedme na 1 - P(A) pricom A bude ze otvori maximalne na 10. pokus, kedze mame podmienku ze na prvzch 6 sa mu t nepodarilo tak vzsledok bude 1 - SUM(i={0,1,2,3}) ((6/7)^i * 1/7), mensia vysvetlivka: pre i=0 sa dvere otvorili na 7. pokus, pre i=1 na osmy...pre i=3 na desiaty

vase nazory...? orientoval osm sa podla toho zadania z past.pdf

a) SUM(i={0,1,2,3,4,5,6}) ((6/7)^i * 1/7) ... nejvyse 6 neuspesnych ~ 0,1,...,6; ale to je drobnost

Jinak bych to pocital stejne