Zkouška Kolman 4. 6. 2024

1. a) Uveďte přesnou definici pozitivně definitních matic (5)

   b) Co víte o rozkladu pozitivně definitní matice $A$ na součin dolní a horní trojúhelníkové? Přesně formulujte a dokažte. (Nevíte-li jak postupovat, uvažte rozklad matice A založený na násobení A zleva maticí odpovídající vhodné posloupnosti elementárních řádkových úprav) (10)

2. (a) Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$ (5)

   (b) Existují vlastní vektory $u$, $v$, v matici $A$ takové, že každé dva různé z nich jsou na sebe kolmé (vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu)? Pokud ano, najděte nějaké, pokud ne, zdůvodněte. (5)

   (c) Najděte bázi $B$ vektorového prostoru $\mathbb{R}^3$ takovou, že matice kvadratické formy $f$ dané předpisem: $$f(x) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2$$ je vůči ní diagonální a navíc pouze s čísly 0, 1, -1. (5)

3. (a) Uveďte definici skalárního součinu ve vektorovém prostoru $V = \mathbb{R}^n$. (5)

   (b) Nechť $U$ je podprostor vektorového prostoru $V = \mathbb{R}^3$ generovaný vektorem $b_1 = (1,1,1)^T$. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku $U$, vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu, takovou, že každé dva její vektory $u, v, u \neq v$ jsou na sebe kolmé. (10)

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

   (a) Pro každé dvě čtvercové matice $A$ a $B$ platí: jsou-li $A$ a $B$ ortogonální matice, pak i $AB$ je ortogonální matice. (5)

   (b) Pro matici $C = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 3 & 5 & 2 & 7 \end{pmatrix}$ existuje rozklad $C = U^T U$, kde $U$ je horní trojúhelníková matice. (5)

   (c) Pokud $AS = S \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{pmatrix}$, a $S$ je regulární matice, pak $3/2$, $4/3$ a $5/4$ jsou vlastní čísla matice $(A + I)$. (5)