Zkouška Kolman 24. 6. 2025 C

1. Nechť $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}$. Pokud existují, najděte následující rozklady:

   a) $A = RDR^{-1}$, kde $D$ je diagonální matice a $R$ je libovolná matice, (10)

   b) $A = U^TU$, kde $U$ je reálná horní trojúhelníková matice. (5)

2. a) Uveďte přesnou definici charakteristického polynomu matice. (3)

   b) Uveďte přesnou definici podobných matic. (3)

   c) Co víte o charakteristických polynomech podobných matic? Přesně formulujte a dokažte. (9)

3. Nechť $U$ je podprostor vektorového prostoru $\mathbb{R}^{4}$ generovaný vektory $a = (1, 2, 2, 0)^T$ a $b = (0,1,2,3)^T$

   a) Najděte nějakou bázi $B$ ortogonálního doplňku U; ortogonalitu uvažujte vzhledem ke standartnímu skalárnímu součinu. (8)

   b) Najděte nějakou ortonormální bázi $C$ ortogonálního doplňku U; ortogonalitu uvažujte vzhledem ke standartnímu součinu. (7)

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

   a) Nechť $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ jsou pozitivně semidefinitní matice. Pak $A$ a $B$ mají stejnou signaturu. (5)

   b) Je-li $v$ vlastním vektorem reálné matice $A$, pak $v$ je také vlastním vektorem matice $A-I$ (kde I označuje jednotkovou matici stejného řádu jako A). (5)

   c) Kvadratická forma $f(x) = x^T \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} x$ na $\mathbb{R}^{2}$ nabývá pouze záporných hodnot, s výjimkou vektoru $x = (0,0)^T$. (5)

Bodování:

• 60–50 = 1

• 42–49 = 2

• 35–41 = 3

• 30–34 = možná ústní

• 0–29 = 4

Čas: 90 minut (bylo to málo)