Zkouška Hladík 2. 6. 2025 A

1. Zformulujte a dokažte větu o charakterizaci positivně definitních matic. (7)
   Definujte pojem bilineární forma. (1)  

2. Co víte o tématu: Ortogonální matice.
   (definice, vlastnosti, odvození, použití, souvislosti) (6)  

3. Symetrická matice $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ má vlastní čísla $1, 3, 6$ a odpovídající vlastní vektory $v_1, v_2, v_3$. Dále víme, že matice projekce na $\mathrm{span}\{v_1\}$ je

$$P = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a matice projekce na $\mathrm{span}\{v_1, v_2\}$ je

$$Q = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$$

(a) Určete vektory $v_1, v_2, v_3$. (4)
(b) Určete matici $A$. (2)

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

   (a) Buď $V$ prostor se skalárním součinem a $u, v \in V$. Pak $u$ lze rozepsat jako $u = \alpha v + w$ pro vhodný vektor $w \perp v$ a skalár $\alpha$. (2)

   (b) Matice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ je diagonalizovatelná právě tehdy, když má navzájem různá vlastní čísla. (2)

   (c) Buď $A = LL^T$ Choleského rozklad matice $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Je-li $A_{n1} = 0$, pak $L_{n1} = 0$. (2)

   (d) Buď $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Pak existuje reálná matice $S$ taková, že $S^T A S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$. (2)