11.6.2012 Hladík

Varianta B

1. Zformulujte algoritmus Gram-Schmidtovy ortogonalizace a dokažte jeho správnost

2. Buď
   $$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1\\3 & 1 & 1\\1 & 1 & 3\end {array}\right)$$

   • Najděte všechny invariantní směry (přímky) lineárního zobrazení $x \mapsto Ax$.

   • Spočítejte projekce vektoru $v = (2, 4, 6)$ na všechny výše zmíněné přímky.

3. Mějme kvadratickou formu $f(x) = 2x_1^2 - 2x_1x_2 - 12x_1x_3 - 2x_2^2 - 8x_2x_3 - x_3^2$. Najděte dvoudimenzionální podprostor $V \Subset \mathbb{R}^3$ takový, že $f(x) > 0$ pro každé nenulové $x \in V$.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá :

   • Existuje ortogonální matice obsahující řádky $\left(\frac 1 2 , \frac 1 2, -\frac 1 2, \frac 1 2\right)$ a $\left(\frac 1 2 , -\frac 1 2, \frac 1 2, \frac 1 2\right)$.

   • Pokud má matice $A^2$ reálné vlastní číslo $\lambda \geq 0$, pak A má vlastní číslo $\sqrt \lambda$.

   • Je-li A matice reálné kvadratické formy $f : \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}$ vzhledem k bázi B, pak $\alpha^2A$ je matice kvadratické formy $f'(x) = \alpha f(x)$ vzhledem ke stejné bázi B.

   • Je-li A symetrická matice, pak i adj(A) je symetrická.