Matfyz Wiki

Hladik - 7.9.2011

jmeno at 2011-09-08 10:50:14

Oddeleni A:

  1. Zformulujte a dokazte vetu o spektralnim rozkladu symetricke matice. (7)
    Definujte pojem Jordanova normalni forma. (1)

  2. Rozsirte system (1,2,3,4), (0,2,1,4) na bazi ortogonalniho doplnku k prostoru generovaneho vektorem (4,3,-2,-1). Zduvodnite svuj postup. (6)

  3. Bud p(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1.
    (a) Spocitejte koresny polynomu p(x) a najdete matici spolecnici C_p. (2)
    (b) Rozhosnete zda C_p je diagonalizovatelna. (2)
    (c) Najdete adj(C_p), (2)

  4. Rozhodnete a zduvodneete, ktera z nasledujicich tvrzeni jsou pravdiva:
    (a) Existuji vektory u,v z C^5 takove, ze ||u||=1, ||v||=4 a <u,v> = 3+4i (2)
    (b) Bud A z R^{n x n} diagonali\ovatelna matice a podobna s B z R^{n x n}. Pak i B jr diagonalizovatela. (2)
    (c) Budte A, B positivne definitni matice radu n. Pak B A^(-1) B^T je positivne definitni matice. (2)
    (d) Jsou-li s_1, ... s_r singularni cisla matice A, pak s_1^2, ... s_r^2, jsou singularni cisla matice A^T A. (2)