18.6.2015 - Hladík

Zadaní A

1. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. 7
   Definujte ortogonální matici. 1

2. Uvažujme skalární součin $\left\langle x,y\right\rangle = x^T Ay$, kde
   $A = \begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&1\\2&1&6\end{pmatrix}$
   V tomto skalárním součinu najděte ortonormální bázi $\mathbb{R}^n$. 6

3. Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice
   $A = \begin{pmatrix}2&0&0\\0&-3&4\\0&4&3\end{pmatrix}$. 6

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

   1. Čtvercové matice $A$ řádu $n$ takové, že $\text{det}(A) = 1$, tvoří s maticovým násobením grupu. 2

   2. Má-li matice $A$ vlastní číslo $\lambda$, pak matice $A^2 - 7A + 5I$, má vlastní číslo $\lambda ^2 - 7 \lambda + 5$. 2

   3. Buď $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ regulární. Pak $A$ i $A ^{-1}$ mají stejnou Jordanovu normální formu. 2

   4. Je-li $A$ pozitivně definitní matice, pak $\text{adj}(A)$ je také pozitvně definitní. 2

Zadaní B

1. Zformulujte a dokažte větu o charakterizaci positivně definitních matic.7
   Zformulujte Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.1

2. Uvažujme skalární součin $\left\langle x,y\right\rangle = x^T Ay$, kde
   $A = \begin{pmatrix}1&2&1\\2&5&1\\1&1&3\end{pmatrix}$
   V tomto skalárním součinu najděte ortonormální bázi $\mathbb{R}^n$. 6

3. Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice
   $A = \begin{pmatrix}1&6&0\\3&1&0\\0&0&7\end{pmatrix}$. 6

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

   1. Čtvercové matice $A$ řádu $n$ takové, že $\text{det}(A) = \pm 1$, tvoří s maticovým násobením grupu. 2

   2. Má-li matice $A$ vlastní vektor $x$, pak matice $A^2 - 7A + 5I$, má vlastní vektor $x$. 2

   3. Buď $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ regulární. Pak $A$ mají stejný počet Jordanových buněk ve svých Jordanových normálních formách. 2

   4. Matice projekce při standardním skalárním součinu je vždy pozitvně semidefinitní. 2

Hodnocení
$1 \geq 21$
$2 \geq 17$
$3 \geq 12$
$4 \geq 7$
$5 \geq -\infty$

Hodnocení bez záruky, počty jsou před ústní částí.

Statistika přihlášení
Via petrroll

5 dní před zkouškou: přihlášených 56 / 56 lidí, několik čeká na uvolnění
4 dni před zkouškou: přihlášených 54 / 56 lidí
1 den před zkouškou: přihlášených 40 / 56 lidí
ráno před zkouškou: přihlášených 36 / 56 lidí

Ústní na doopravu bylo tentokráte speciální. Namísto klasického vytáhnutí věty / důkazu si člověk vylosoval téma a měl k němu nakreslit mind-mapu souvisejících pojmů. Prakticky se čekala tak nějaká střední velikost + když byl člověk na hraně, tak si ještě většinou mohl vybrat jeden důkaz ze svého orkuhu a ten dokázat.

Obecně to mělo dost nadprůměrnou úspěšnost. Přesné statistiky neznám, ale co jsem viděl, tak to bylo ok.