Matfyz Wiki

Hladík 7.6.2012

Abby at 2012-06-07 16:29:40

  1. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. (8 b)

  2. Mějme matici a vektor řádu n \ge 2.
    a) Spočítejte det(A). (3 b)
    b) Spočítejte první složku x<sub>1</sub> řešení soustavy Ax = b. (3 b)
    A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & 2 \\ 2 & 2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 2 \\ 2 & \cdots & 2 & n \end{pmatrix} , b = \begin{pmatrix} n \\ n-1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}

  3. Na prostoru R<sup>3</sup> uvažujme skalární součin <x, y> := x<sub>1</sub>y<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>y<sub>2</sub> - x<sub>2</sub>y<sub>3</sub> - x<sub>3</sub>y<sub>2</sub> + 2x<sub>3</sub>y<sub>3</sub>.
    V tomto skalárním součinu:
    a) Spočítejte projekci vektoru u = (1, 4, 1)<sup>T</sup> na podprostor V = span{(1, 1, 1)<sup>T</sup>, (3, 3, 1)<sup>T</sup>}. (3 b)
    b) Najděte ortogonální doplněk V^\perp. (3 b)

  4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
    a) Buď A \in R^{m\times n} a P matice projekce do S(A). Potom PA = A. (2 b)
    b) Spektrální rozklad reálné symetrické matice je jednoznačný. (2 b)
    c) Buď A \in R^{m\times n} positivně semidefinitní matice a \lambda_n její nejmenší vlastní číslo. Pak \lambda_n I_n - A je také positivně semidefinitní matice. (2 b)
    d) Každá reálná matice lze rozložit na součin dolní trojúhelníkové a ortogonální (v tomto pořadí). (2 b)