Hubáček

1. Definujte vlastní číslo. [1]

2. Formulujte a dokažte Sylvestrův zákon setrvačnosti. [4]

3. V $\mathbb{R}^4$ mějme dva vektory: $(1,-1,1,-1)^T, (0,2,0,2)^T$. Vypočítejte ortogonální bázi prostoru, který tyto dva vektory generují. Poté vektory doplňte na celý $\mathbb{R}^4$ a dopočtěte ortogonální bázi tohoto doplněného prostoru. [3]

4. Mějme definované zobrazení $D: \mathcal{P}^n \rightarrow \mathcal{P}^n$ jako derivaci. Dokažte, že $D$ je lineární zobrazení a rozhodněte zda existuje báze prostoru $\mathcal{P}^n$, vůči které je matice tohoto zobrazení regulární. [2]

Poznámka: $\mathcal{P}^n$ značí prostor všech reálných polynomů proměnné $x$ stupně nejvýše $n$.