19. 5. 2023 - Fiala (bonusový předtermín)

Definujte Laplacovu matici.
Dokažte nebo vyvraťte: Pro každou Laplacovu matici platí, že vektor $(-2, -2, -2,...)^T$ odpovídající délky je jejím vlastním vektorem. (platí)

Definujte geometrickou násobnost vlastního čísla.
Dokažte nebo vyvraťte: Každá singulární komplexní matice má alespoň jedno vlastní číslo s algebraickou násobností různou od geometrické. (neplatí)

Definujte pozitivně definitní matici.
Dokažte nebo vyvraťte: Každá matice řádu n ≥ 2 , kde $a_{11} = a_{1i} = a_{i1} = a_{ii}$ není pozitivně definitní. (platí)

Uveďte a dokažte větu o izometrii a vlastnostech její matice.

Přehledově sepište, co víte o polynomech.

Mějme v $\mathbb{Z}_5^3$ kvadratickou normu g s následující maticí vůči kanonické bázi:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ Jaká je její matice vůči bázi $X = ((1,0,1)^T, (0,1,2)^T, (2,1,0)^T)$