Zkouška Šámal, Hladík 25. 6. 2015

Zadání B

1. Vyslovte větu o rozvoji determinantu podle sloupce 2
   Zformulujte a dokažte větu o spektrálním rozkladu symetrických matic. 6

2. Označme $s_i(x,y,z)$ polynom reálných proměnných $x, y, z$ ve tvaru $a_ix + b_iy + c_iz$. Rozhodněte, zda existují pro $i=1,2,3$ reálná čísla $w_i,a_i, b_i, c_i$ taková, že platí:

$$\sum\limits_{i=1}^3 w_is_i(x,y,z)^2 = 2xy + 2yz - 2zx$$.

Zdůvodněte, a pokud existují, tak nějaká taková čísla nalezněte. 6

1. Označme
   $$A = \left( \begin{array}{cccc}2 & 3 & 2 & 0 \\ -1 & -2 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{array} \right)$$

Spočtěte $A^{1001}$. 6

1. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: Po 2 bodech

   1. Nechť existují vektory $v_1 .... v_4 \in \mathbb{R}^2$ takové, že $A_{i,j} = <v_i,v_j>$. Pak $A$ je symetrická positivně semidefinitní matice z $\mathbb{R}^{4\times4}$

   2. Buď V vektorový prostor dimenze n a U jeho podprostor. Dále buď $U^\perp$ ortogonální doplněk U. Nechť P je matice ortogonální projekce na U a Q matice ortogonální projekce na $U^\perp$. Pak platí $P^2 -Q^2 = I_n$

   3. Buď A matice z $\mathbb{R}^{n \times n}$. Pokud je $\lambda$ kořen charakteristického polynomu $p_A(\lambda)$ násobnosti alespoň k (kde k >=1 je přirozené číslo), pak matice A má k navzájem různých vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu $\lambda \in \mathbb{R}$

   4. Pro každou symetrickou matici $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ platí $det(2A) = 2 det(A)$.

Druhý příklad snad nikdo nespočítal, za 15 bodů byla jednička, za 12 dvojka a myslím za 9 trojka... dál si stupnici nepamatuji

Usní zkoušení probíhalo, jak u Šámala, tak i u Hladíka pomocí myšlenkové mapy jako na 18.6.2015 - Hladík