Zkouška Kolman 21. 1. 2025

Maximální počet bodů: 30
Čas: 90 minut
Hodnocení:

1. 26-30b

2. 22-25,5b

3. 18-21,5b

4. 15-17,5b

5. 0-14,5b

(4 = člověk může na ústní zlepšit si známku na 3; 5 = člověk má za 4 a neprošel)

Skupina B

Úloha 1

1. Definujte elementární řádkové operace. Rozlište, které jsou základní a které jsou odvozené. (1b)

2. Dokažte, že elementární řádkové operace rozšířené matice soustavy nemění její množinu řešení. (2b)

3. Popište, jak lze elementární řadkové operace vyjádřit pomocí maticového násobení. (1b)

4. Dokažte, že elementární řádkové operace nemění dimenzi sloupcového prostoru. (2b)

Úloha 2

Nechť $V = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$ je báze vektorového prostoru $Z$ . Pro každé $i = 2, \ldots, n$ , nechť $w_i = v_i - v_{i-1}$ , a nechť $w_1 = v_1 - v_n$ .

1. Dokažte nebo vyvraťte: $W = (w_1, w_2, \ldots, w_n)$ je také bází vektorového prostoru $Z$ . Je-li $W$ báze, určete matici přechodu $A$ od báze $W$ k bázi $V$ a matici přechodu $B$ od báze $V$ k bázi $W$ .

2. Dokažte nebo vyvraťte: $U = (v_1, w_2, \ldots, w_n)$ je také bází vektorového prostoru $Z$ . Je-li $U$ báze, určete matici přechodu $C$ od báze $U$ k bázi $V$ a matici přechodu $D$ od báze $V$ k bázi $U$ .

Úloha 3

Uvažme vektory $v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ 2 \end{pmatrix}$ $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}$, $v_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_5 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ z vektorového prostoru $Z_{11}^3$

Označme linární obal těchto vektorů a $d$ jeho dimenzi

1. Určete, kolik je $d$ (2b)

2. Pokud to je možné, vyberte $d$ vektorů ze souboru $v_1, \ldots, v_5$ tak, aby tvořily bázi. (3b)

3. Pokud to je možné, mezi vektory $v_1, \ldots, v_4$ jich vyberte $d-1$ tak, aby společně s vektorem $d_5$ tvořily bázi. (3b)

Úloha 4

Které z následujících výroků jsou správné? Zdůvodněte.

1. Je-li $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ zobrazení splňující pro každé $\alpha \in \mathbb{R}$ a každé $u \in \mathbb{R}^2$ rovnost $\alpha f(u) = f(\alpha u)$, pak $f$ je lineární zobrazení. (2b)

2. Vektorový prostor $\mathbb{Z}_3^1$ má právě jednu bázi. (2b)

3. Je-li $A$ matice typu $3 \times 4$ , pak je vždy možné najít vektorový prostor $W$ a jeho dvě báze $X$ a $Y$ takové, že $A$ je matice přechodu od báze $X$ k bázi $Y$. (2b)

4. Jsou-li $u$ a $v$ dva nenulové lineárně závislé vektory z vektorového prostoru $\mathbb{Z}_3^4$, pak $u=v$ nebo $u=-v$. (2b)

Skupina A