1. a) Buď $M$ vektorový prostor všech racionálních matic typu $2 \times 2$. Najděte nějakou jeho bázi $B$ a určete dimenzi (2)
   b) Najdetě ještě další bázi $C$ téhož vektorového prostoru $M$, a takovou, že neobsahuje žádný prvek z báze $B$. (2)
   c) Najděte matici přechodu $_CM_B$ od báze $B$ k bázi $C$, a matici přechodu $_BM_C$ od báze $C$ k bázi $B$ (4)

2. Napište a dokažte Steinitzovu větu. V jejím důkazu můžete použít tzv. Lemma o výměně, které nemusíte dokazovatů pokud toto lemma budete používat, je potřeba ho přesně zapsat. (6).

3. a) Napiště definici tělesa. (2)
   b) Uvaže čtyřprvkovou množinu $F = \{0, 1, x, y\}$ a na ní dvě binární operace $+$ a $\cdot$ definované následujícím způsobem: $\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline +_{} & 0 & 1 & x & y \\ \hline \hline 0 & 0 & 1 & x & y \\ \hline 1 & 1 & 0 & y & x \\ \hline x & x & y & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 1 & x & y \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline \cdot & 0 & 1 & x & y \\ \hline \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & x & y \\ \hline x & 0 & x & y & 1 \\ \hline y & 0 & y & 1 & x \\ \hline \end{array}$ Rozhodněte, zda trojice $(F, +, \cdot)$ je tělesem. (6)

4.Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte.
a) Pro matice $A \in \Reals^{n \times k}$ platí: je-li $AB=0$, pak $S(B) \sube Ker(A)$ (symbol $S(B)$ označuje sloupcový prostor matice $B$, symbol $Ker(A)$ jádro matice $A$, a $0$ zde označuje nulovou matici typu $m \times k$). (2)
b) Je-li $V$ vektorový prostor dimenze $n$, pak libovolných $n$ lineárně nezávislých vektorů tvoří bázi $V$. (2)
c) Soustava $Ax=b$ má řešení právě tehdy když, když hodnost $A$ je rovna hodnosti $(A|b)$ (kde $(A|b)$ značí matici $A$, ke které je přidán jako další sloupec vektor $b$). (2)
d) Je-li $f: U \rarr V$ lineární zobrazení a $B$ báze prostoru $U$, potom obraz $B$ tvoří bázi prostoru $f(U)$. (2)