1. a) Buď $M$ vektorový prostor všech racionálních matic typu $2\times 2$. Najděte nějakou jeho bázi $B$ a určete dimenzi (2)
   b) Najdetě ještě další bázi $C$ téhož vektorového prostoru $M$, a takovou, že neobsahuje žádný prvek z báze $B$. (2)
   c) Najděte matici přechodu ${}_C{M}_B$ od báze $B$ k bázi $C$, a matici přechodu ${}_B{M}_C$ od báze $C$ k bázi $B$ (4)

2. Napište a dokažte Steinitzovu větu. V jejím důkazu můžete použít tzv. Lemma o výměně, které nemusíte dokazovatů pokud toto lemma budete používat, je potřeba ho přesně zapsat. (6).

3. a) Napiště definici tělesa. (2)
   b) Uvaže čtyřprvkovou množinu $F=\{0,1,x,y\}$ a na ní dvě binární operace $+$ a $\cdot$ definované následujícím způsobem: $\begin{array}{ccccc}{+}_{}& 0& 1& x& y\\ 0& 0& 1& x& y\\ 1& 1& 0& y& x\\ x& x& y& 0& 1\\ y& 0& 1& x& y\end{array}$ $\begin{array}{ccccc}\cdot & 0& 1& x& y\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& x& y\\ x& 0& x& y& 1\\ y& 0& y& 1& x\end{array}$ Rozhodněte, zda trojice $(F,+,\cdot )$ je tělesem. (6)

4.Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte.
a) Pro matice $A\in {\mathbb{R}}^{n\times k}$ platí: je-li $AB=0$, pak $S(B)\subseteq Ker(A)$ (symbol $S(B)$ označuje sloupcový prostor matice $B$, symbol $Ker(A)$ jádro matice $A$, a $0$ zde označuje nulovou matici typu $m\times k$). (2)
b) Je-li $V$ vektorový prostor dimenze $n$, pak libovolných $n$ lineárně nezávislých vektorů tvoří bázi $V$. (2)
c) Soustava $Ax=b$ má řešení právě tehdy když, když hodnost $A$ je rovna hodnosti $(A|b)$ (kde $(A|b)$ značí matici $A$, ke které je přidán jako další sloupec vektor $b$). (2)
d) Je-li $f:U\to V$ lineární zobrazení a $B$ báze prostoru $U$, potom obraz $B$ tvoří bázi prostoru $f(U)$. (2)