26. 1. 2017 - Hladík

Byly alespoň dvě varianty, všechny otázky se lišily, ale byly principem podobné. Proto píšu jenom otázku 1 v obou variantách.

• 1. (varianta A)
  Definujte pojem regulární matice (1 bod)
  Zformulujte a dokažte větu o matici složeného lineárního zobrazení. (7 bodů)

• 1. (varianta B)
  Definujte pojem znaménko permutace. (1 bod)
  Zformulujte a dokažte větu o maticové reprezentaci lineárního zobrazení. (7 bodů)

• 2. (varianta B)
  Buď $A = \begin{pmatrix} 2 + 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$.

(a) Nad kterým tělesem typu $\mathbb{Z}_p, p \geq 3$, platí $(1, 1, 1)^T \in \text{Ker}(A^3)$? (3 body)
(b) Nad kterým tělesem typu $\mathbb{Z}_p, p \geq 3$, platí $(1, 2, 1)^T \in \text{Ker}(A^T) \cap \mathcal{R}(A^{88})$? (3 body)

• 3. (varianta B)
  Najděte dva různé vektory $x, y \in \mathbb{R}^3$ takové, že $f(x) = f(y) = (0, -1, 2)^T$ při lineárním zobrazení $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definovaném maticí
  $${}_{kan}[f]_B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ a bází $B = {(4, 4, 2)^T, (2, 1, 1)^T, (3, 2, 1)^T}$ . (6 bodů)

• 4. (varianta B)

Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: (4x 2 body)

(a) Buď $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ a buď $b, c \in \mathbb{R}^n$. Soustava $Ax = b$ má jediné řešení právě tehdy, když soustava $Ax = c$ má jediné řešení.

(b) Je-li součin $AB$ čtvercová matice a $ABAB$ také, potom obě matice $A$ a $B$ musí být rovněž čtvercové.
(c) Buďte $U, V, W$ podprostory nějakého vektorového prostoru. Pak $U \cap (V + W) \supseteq (U \cap V) + (U \cap W)$.
(d) Prostory $\mathcal{S} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ a $\{(a + b, a - b, 2a - 3b)^T \in \mathbb{R}^3; a, b \in \mathbb{R} \}$ jsou isomorfní.

Proč se mi zdá, že ty Hladíkovy písemky jsou vždycky strašně hardcore? :D
Jak se má řešit ta dvojka? Hlavně by mě zajímalo to b-čko ...

PS: Jsem rád, že chodím k Pangrácovi :D

Písemky jsou sice docela těžké, ale to, že se písemka nepovede zas tak dobře ještě nic neznamená. Z písemky jsem měl "horší dvojku", ale celkově jsem měl zkoušku za 1.

Hint k 2b - Pokud ten vektor nepatří do $Ker(A^T)$, tak nemá smysl řešit $\mathcal{R}(A^{88})$