Matfyz Wiki

26.1.2012 Hladík

Danstahr at 2012-01-26 19:32:01

Varianta A :

  1. Formulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.

  2. Nad tělesem Z5\mathbb{Z}_{5} uvažujme

A=(301212132),B=(030201420)A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 1\\2 & 1 & 2\\1 & 3 & 2\end {array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 3 & 0\\2 & 0 & 1\\4 & 2 & 0\end{array}\right)

Určete dimenzi a najděte bázi prostoru matic V={X∈Z53×3∣AX=BX}V = \{X \in \mathbb{Z}_{5}^{3\times3} | AX = BX \}

  1. Buď B báze R3\mathbb{R}^{3} skládající se z vektorů v1=(1,−1,1)T,v2=(0,1,−2)T,v3=(1,−1,0)Tv_1 = {(1, -1, 1)}^{T}, v_2 = {(0, 1, -2)}^{T}, v_3 = {(1, -1, 0)}^{T}.

  • Uvažme zobrazení, které každému vektoru x∈R3x \in \mathbb{R}^{3} se souřadnicemi [x]B=(α,β,γ)[x]_B = (\alpha, \beta, \gamma) přiřadí vektor αv1+βv2{\alpha}v_1 + {\beta}v_2. Ukažte, že toto zobrazení je lineární a najděte jeho matici vzhledem ke kanonické bázi.

  • Dokažte, že každý vektor x∈R3x \in \mathbb{R}^{3} se dá jednoznačně rozepsat jako x=y+zx = y + z, kde y∈span(x1,v2)y \in span(x_1, v_2) a z∈span(v3)z \in span(v_3).

4)Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá :

  • Je-li A,B,C∈Rn×nA, B, C \in \mathbb{R}^{n{\times}n} a ABC=InABC = I_n, pak také CAB∈InCAB \in I_n.

  • Buďte U,VU, V podprostory WW, u1,…,unu_1,\ldots,u_n báze UU a v1,…,vmv_1,\ldots,v_m báze VV. Potom u1,…,un,v1,…,vmu_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_m je báze U+VU+V.

  • Pro každou matici A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n{\times}n} a k∈Nk \in \mathbb{N} platí rank(Ak)≥rank(Ak+1)rank(A^k) \geq rank(A^{k+1}).

  • Buď f:Rn↦Rmf:\mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m} lineární zobrazení, jehož matice vůči nějaké bázi má hodnost mm. Potom ff je prosté.

Za případné překlepy se omlouvám.

Anonymous at 2012-01-26 23:58:51

Víte někdo, jak spočítat tu dvojku?

Mihulik at 2012-01-27 09:20:59

AX=BX => AX - BX = O => (A-B)X = O a ukázat, že A-B je regulární. Pak už je řešení jasné:)

Anonymous at 2012-01-27 11:24:32

Vyšlo mi A-B, že není reg. Co teď?

Mihulik at 2012-01-27 18:47:31

Návštěvník wrote:Vyšlo mi A-B, že není reg. Co teď?

Tak vyjádříme řešení homogenní soustavy a podle toho vidíme bázi a tedy i její velikost:)

Omlouvám se, jak jsem to rychle prolétl, tak jsem myslel, že je regulární.