Hladík 17.2

Jestli máte někdo zájem o zadání, tak sem napište, dam ho sem, nechce se mi to teď přepisovat zbytečně, když to byl poslední termín zkouškovýho a nevim, jestli nějaký ještě budou...

Ja bych zajem mel:) .. ale jestli te to moc obtezuje.... :idea:

V pohodě, jen jsem to sem nechtěl dávat zbytečně...

1. Nad tělesem Z₇ uvažujme matici A = ( 2 5 3 , 1 3 5 , 2 1 3 ). Určete dimenzi a najděte bázi prostoru matic V = { X náleží $Z_7^{3x3}\mid X^{T}A=0$}.

2. Zformulujte Gram-Schmidtovu ortogonalizační metodu a dokažte její správnost.

3. Buď V podprostor $R^3$ popsaný soustavou $2x_1-x_2=x_1+3x_3=0$.
   Mějme lineární zobrazení $f:R^3\to R^3$ zadané následovně
   f((2,2,3)) = (3,2,2)
   f((1,-2,-2)) = (1,3,0)
   f((1,-2,1)) = (2,3,1).
   V obraze f(V) najděte takový vektor, který je nejblíže vektoru u = (6,6,6).

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:

a) Pro každé dva prvky a,b z tělesa T platí $a^2+b_2=0⟹a=b=0$.
b) Buď $f:R^n\to R^m$ lineární zobrazení, jehož matice (vůči kanonické bázi) má hodnost menší než m. Potom f nemůže být na.
c) Regularita matice A je postačující, ale ne nutnou podmínkou pro to, aby A měla inverzní matici.
d) Ve vektorovém prostoru R nad Q jsou vektory 3 a sqrt(2) lineárně nezávislé.