Hladik 10.02.2011 A

1. Definujte pojem báze. Zformulujte a dokažte větu o existenci báze.

2. Buď $A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & -5 & 0\\1 & 0 & -4 & 1\\2 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1\\2 & -1 & 7\\1 & 1 & 2\\3 & 2 & 7\end{array}\right)$.

Rozhodněte, zda $Ker(A)=S(B)$. Rozhodněte, zda $Ker(B)=S(A)$.

3. Uvažujme dvě lineární zobrazí $f,g:\mathcal{P}^{2}\longmapsto\mathbb{R}^{3}$ zadaná $$\begin{array}{c}f\left(2x^{2}-2x+3\right)=\left(11,1,4\right)^{T}\\f\left(x^{2}+4x+2\right)=\left(3,5,-2\right)^{T}\\f\left(3x^{2}+3x+2\right)=\left(1,0,2\right)^{T}\end{array}\begin{array}{c}g\left(x^{2}\right)=\left(1,-2,2\right)^{T}\\g\left(x\right)=\left(-2,0,1\right)^{T}\\g\left(1\right)=\left(1,2,-1\right)^{T}\end{array}$$

Zvolte si bázi $B$ prostoru $\mathbb{R}^{3}$ a spočítejte matici $_{kan}\left[g\circ f^{-1}\right]_{B}$ Rozhodněte, zda $g\circ f^{-1}$ zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

(a) Buď $A$ dolní trojúhelníková matice. Pak $AA^T$ je zase dolní trojúhelníková matice.

(b) Každou permutaci na $n$ prvcích lze zapsat jako složení $n-1$ transpozic.

(c) Buď $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$. Pak $rank(A)=n$ právě když $Ker(A)=\left\{0\right\}$.

(d) Lineární zobrazení $f:U\mapsto V$ je prosté právě tehdy když libovolnou bázi $U$ zobrazí na bázi $V$.