Hladik 10.2.

Varianta B

1. Uvažujme báze prostoru $R^3$
   $B_1: (2,1,1) , (3,2,3) , (4,3,6)$
   $B_2: (1,2,1) , (-1,0,3) , (1,-2,1)$,
   a lineární zobrazení $f: R^3 \to R^3$ definované maticí
   $_{B1}[f]_{B2} = ( 2 2 3 , -1 5 6 , 3 1 2)$
   Najděte ortogonální doplněk k $f(R^3)$.

2. Zformulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.

3. Nad tělesem $Z_7$ uvažujme dva prostory U, V:
   U = { x náleží $Z_7^3 \mid x_1 + x2 + x3 = 0$ },
   V = [ (2,3,5) , (5,1,0) ].
   Najděte bázi prostoru U + V a prostoru U průnik V.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:
   (a) Pro každou čtvercovou matici A platí, že $A^2 = 0$ implikuje S(A) je podmnožina N(A).
   (b) To, že vektory u,v,w tvoří bázi prostoru V je podmínka nutná, ale ne postačující pro to, aby to byly generátory V.
   (c) Buď $f: R^n \to R^n$ lineární zobrazení, jehož matice (vůci kanonické bázi) má hodnost $n$. Potom f je prosté.
   (d) Existují čísla x,y,u,v náleží R taková, že $(4x + 5y + 2u + 2v) > 7 * \sqrt{ x^2 + y^2 + u^2 + v^2}$.

Řekl bych, že docela těžký, podle toho taky vypadaly známky po písemce - 13 x 5, 3 x 4, 3 x 3.

BTW neptali jste se někdo Hladíka, jestli nebude nějakej termín v letnim semestru nebo v září?