Drahoš - zkouška 24. 1.

1. Zjistěte, má-li f(x, y, z) = xy + z^2 na M = {(x, y, z) | x^2 + y^2 <= z^2; x^2 + y^2 + z^2 <= 2z} největší a nejmenší hodnotu, příp. kde a jakou.

2. Řeště poč. úlohu x(0) = 3, y(0) = 0, z(0) = 1 soustavy

x´ = x + 3y
y´ = -x + y - z
z´ = y + z

(x = x(t), y = y(t), z = z(t))

3. Objem tělesa (x^2/4 + y^2/9 + z^2/16)^3 <= z*x^2

Jen takový dotaz, když se dívám do SISu, tak jediné termíny na MA III, které vidím, jsou Pultrovi? Kde si teda byl na zkoušce, že tě zkoušel Drahoš?
resp. pokud se jednalo o termín
Matematická analýza III zk., St 24.1.2007, 9:00, S6, Pultr,A.
proč je v SISu opět uveden Pultr?

Necroman wrote:Kde si teda byl na zkoušce, že tě zkoušel Drahoš?

Drahoš nepoužívá sis k vypisování termínů. Na přednáškách nám řekl, že termíny jsou během zkouškového každou středu od 9:00 v S3, kdo přijde, ten bude vyzkoušen.
Asi si se sisem moc nerozumí, mně tam zapsal známku ze zkoušky hned dvakrát - jako bych byl na dvou termínech, i když jsem byl jen na jednom :D

Ja vim, ze to je ostuda, ale jak se vlastne resi ta 1 :oops: ? Staci strucne, dik.

Resi se to pomoci vety o lagrangovych multiplikatorech.

Nejdriv se trochu prozkouma mnozina M.

xx + yy <= z*z

zavedeme valcove souradnice
x = r sina
y = r cosa
z = z

=> rr sin^2 (a) + rr cos^2 (a) <= zz
rr(sin^2(a) + cos^2(a)) = rr <= zz
r <= |z|
Takze tato nerovnice popisuje kuzel.

xx + yy + zz <= 2z
xx + yy + (z-2z+1) -1 <= 0
xx + y*y + (z-1)^2 <= 1
Tahle zas popisuje kouli posunutou o 1 od pocatku.

Prunik techto dvou objektu vypada jak kornout se zmrzlinou :)
Tato mnozina je kompaktni (omezena a uzavrena)
Funkce f je spojita.

A)
Takze nejdrive zkusime najit minimum/maximum uvnitr mnoziny M.
To se vezmou stacionarni body(ktere jsou zaroven uvnitr M) a overi se podle "definitnost" kvadraticke formy dane funkce.
Dxf = y
Dyf = x
Dzf = 2z
Df =0 <=> [x,y,z] = [0,0,0] tento bod je ovsem mimo vnitrek mnoziny M. Takze uvnitr M f nema extrem.

B)
hledame extremy na hranici (plasti) M.
Zde je dulezity krok a to rozdeleni plaste v nasem pripade na 3 casti:

1. plast kuzele
   g1: xx + yy = z*z

2. plast koule
   g2: xx + yy + z*z = 2z

3. pruniku plaste koule a kuzele (je to vlastne kruznice)
   g3: xx + yy = zz
   g4: xx + yy + zz = 2z

4. Hledame langranuv multiplikator a a souradnice x,y,z: L = f + a*g1
   Tj. resime tuto soustavu:
   DxL = 0 .... derivace L podle x
   DyL = 0 .... derivace L podle y
   DzL = 0 .... derivace L podle z
   g1=0 .... hranice mnoziny
   Nalezene body(ktere zaroven patri do M) vyhovujici soustave si zapamatujeme.

5. Obdobne hledame b,x,y,z: L = f + b*g2

6. Hledame c,d,x,y,z: L = f + cg3 + dg4

Nyni vlozime zapamatovane postupne do f(x,y,z) a podle funkcnich hodnot seradime. Vzhledem k tomu ze M je kompaktni a f je spojita, vezmeme bod s nejvetsi funkcni hodnotou jako maximum f na M a nejmensi hodnotou jako minimum f na M.

Diky moc :)

nechce te se svěřit s otázkami na ústní???

Podivej se do ostatnich threadu, ale 24.1. se myslim dokonce nikdo z 9 lidi nedostal na ustni (vcetne me) :/

Anonymous wrote:nechce te se svěřit s otázkami na ústní???

já se tam nakonec dostal, ale stálo mě to mnoho úsilí.

pro představu: p. Drahoš měl na opravu osmi písemek čtyři hodiny, z toho sám opravoval tuším jen jeden příklad (ten první, extrémy) a to ještě tím způsobem, že jen prošel papír a když nalezl nějaké řetězce, které mu připomínaly jeho způsob řešení, přidal namátkou pár bodů. když ho to přestalo bavit, napsal prostě na písemku devítku, což znamená méně než polovina z dvaceti, neboli neúspěch.

musel jsem ho chvíli přesvědčovat, aby mi uznal dalších šest bodů, díky čemuž jsem se dostal i na ústní. posadil mě do vedlejší třídy a zatím pomáhal jinému studentovi vysvětlit diferenciální rovnice. takže jsem měl půl hodiny na to, nastudovat si aspoň trochu zadané otázky :)

otázky:

1. klíčový pojem: počáteční úloha diferenciální rovnice a její řešení (záchytný bod - pokud klíčový pojem neosvětlíte, rovnou s ústním končíte)

2. Fubiniho věta, Lebesgeova věta a záměnnost parc. derivací n-tého řádu (vše bez důk.)

3. převod homogenní dif. rovnice na rovnici s oddělenými proměnnými + důkaz.

4. věta o střední hodnotě pro funkce o více proměnných + důkaz.

třetí otázku jsem neměl vůbec, ve druhém jsem uvedl zjednodušené verze vět ze cvičení (ty dlouhé z přednášek si nepamatuji). odešel jsem se dvojkou a jsem rád že to mám za sebou. hodně štěstí ostatním!

Poradí někdo, jak spočítat tohle?

cathack wrote:3) Objem tělesa (x^2/4 + y^2/9 + z^2/16)^3 <= z*x^2

Dokážu vyjádřit y a zintegrovat, ale potom už nic. A substituce mě žádná nenapadá.

Ja bych do toho zkusil dosadit sfericky souradnice a pak z toho vyjadrit omezeni pro r (a zjistit, kdy je omezeni >= 0). Pak bych vzal trojnej integral (pres alfu, betu a r) z ( r^2 * cos(beta) ) (nebo jak je ten jakobian?).

Ale je to bez zaruky, zkousku mam teprve pred sebou, takze me kdyztak nekdo opravte.

Anonymous wrote:Ja bych do toho zkusil dosadit sfericky souradnice a pak z toho vyjadrit omezeni pro r (a zjistit, kdy je omezeni >= 0). Pak bych vzal trojnej integral (pres alfu, betu a r) z ( r^2 * cos(beta) ) (nebo jak je ten jakobian?).

Ale je to bez zaruky, zkousku mam teprve pred sebou, takze me kdyztak nekdo opravte.

No jo, kdybych ale vedel, jaky jsou ty sfericky souradnice. Nebo by stacilo, kdyby mi nekdo rekl, jak se pocita jakobian, to bych si mohl udelat vlastni :-D

Uloha je spocitat integral 1 na mnozine M = {(x,y,z) | (x^2/4 + y^2/9 + z^2/16)^3 <= z*x^2 }

Nejprve se pouziji kulove souradnice(nebo tak nejak se jmenuji :) )

x = 2r sina sinb
y = 3r sina cosb
z = 4r cosa

Koeficienty 2,3,4 jsou tam proto, aby se zkratily ty zlomky...

0 < r < oo
0 < a < PI
0 < b < 2PI

Jakobian = -24r^2 sinb

Podle vety o substituci:
Int f na mnozine A = Int (f o g)*|Jakobian g| na mnozine g^-1(A)

poznamky:
a) g musi byt regularni a prosta.
b) g^-1 tim minim inverzni funkci

V nasem pripade je g rovna funkci (r,b,a) -> (r sina sinb, r sina cosb, r cosa), je regularni a prosta.

(x^2/4 + y^2/9 + z^2/16)^3 <= z*x^2
Dosadim substituci za x,y,z ->
r^6 <= 16r^3 sin^2 (a) sin^2(b) cos(a)
r^3 <= 16 sin^2 (a) sin^2(b) cos(a)

Vzhledem k tomu ze r musi byt > 0, tak i cos(a) musi byt >0 => 0 < a < pi/2

Takze nase nova uloha zni:
Int (|-24*r^2 sina|) na mnozine {(r,b,a) | r^3 <= 16 sin^2 (a) sin^2(b) cos(a) }

0<r<= treti_odmocnina(16 sin^2 (a) sin^2(b) cos(a))
0<b<2PI
0<a<PI/2

Ted se veme Fubiniho veta:

PI/2   2PI  treti_odmocnina(16 sin^2 (a) sin^2(b) cos(a))
Int    Int  Int (24r^2 sina) dr db da
0      0    0 

Mno to uz preci umime spocitat :) Mathematica mi to spocetla jako 32PI.

Myslim ze az na pripadne preklepy by to melo byt sprave.

Jakobian je determinant Jakobiho matice.
Jakobiho matice funkci f1, ... ,fn promennych x1, ... ,xn ma na souradnicich i,j: derivace fj podle xi

melda3: God bless You :)
Diky moc za vysvetleni, uz je mi to jasny :-)