Zkouška Klazar 12.6.2015

Príklad 1 (6b)

Nájdite všetky lokálne extrémy funkcie
$$f(x,y,z) = y.cos(z) - y^2 - x^2$$ na množine R^3. Určite globálne maximum a minimum (či existuje, kde
sa nadobúda a aká je jeho hodnota). Zdôvodnite.

Prílad 2 (6b)

a) Definujte Jacobiho maticu zobrazenia a Hessovu maticu funkcie viacerých premenných

b) Je daný bod a v $R^m$. Rozhodnite, či každá matica A s rozmerom $n*m$ a reálnymi položkami je
Jacobiho maticou v bode a nejakého zobrazenia $F$ z $R^m$ do $R^n$.
Zdôvodnite.

Príklad 3 (6b)

a) Uveďte (bez dôkazu) výsledky o metrických prostorech: vlastnosti otvorených a uzatvorených množin.

b) Nechť $A$ je množina reálnych čísel (pracujeme v euklidovskom priestore $R$ s obvyklou metrikou),
ktorá nie je ani prázdna ani rovná celému $R$. Dokážte, že taká množina $A$ nemôže byť súčasne otvorená
a uzavretá množina. Návod: Použite supremum.

Príklad 4 (6b)

Dokážte, že spojitá fukncia má na kompaktním intervalu $[a,b]$ Riemannov integrál.

Riešenia:

1. stacionárne body $[0,0,\pi/2 + k*\pi]$, $[0,0,3\pi/2 + k*\pi]$, $[0,0.5,0 + 2k*\pi]$, $[0,-0.5,pi + 2k*\pi]$ posledné dva sú globálnym maximom