Rataj 13.9.2010

Dnes zadání bylo:

(1) Najděte primitivní funkci:
$$\int\frac{x^4-x^3-3x}{(x-1)^2(x^2+x+1)}\,dx.$$
(10 bodů)

(2) Rozhodněte, zda má spirála v rovině s parametrizací
$$x=\frac{1}{t}\cos t,\,y=\frac{1}{t}\sin t, t \in [1,\infty),$$
konečnou délku.
(10 bodů)

(3) Lze funkci
$$f(x,y,z)=\frac{\sin(xy)+\sin(yz)+\sin(xz)}{x^2+y^2+z^2}$$
spojitě dodefinovat v počátku $(0,0,0)$?
(10 bodů)

(4) Funkce $y=f(x)$ je na okolí bodu $x=0$ a s hodnotou $f(0)=\frac{\pi}{2}$ zadáne implicitně rovnicí
$$\arctan(e^x-\sin y)+\cos(x-y)=0.$$
Spočtěte $f'(0)$a$f''(0)$.
(10 bodů)

Všechny výpočty a odpovědi řádně zdůvodněte.
Na vypracování máte 120 minut. Požadované minimum: 20 bodů.
Při práci můžete používat pouze jeden vlastní popsaný list formátu A4 se vzorečky. Není povoleno používat mobily ani žádnou výpočetní techniku.