zkouska 1.2.

Zadání písemky, varianta B:
1,
Spočtěte limitu
lim [n->inf] : (nn-1)^(1/n)
2,
Spočtěte
lim [x->0+] : x(cotg x - cotg (x/2) )
3,
Vyšetřete průběh funkce
f(x) = (x^3 - 3x)^(1/3)
4,
Nechť funkce f je konkávní na intervalu [0,1] a označme M množinu všech bodů z [0,1] v nichž funkce nabývá svého maxima. Ukažte, že M je interval. Musí být M uzavřený interval? (Můžete se odvolávat na věty a tvrzení z přednášky.)

Na písemku je 90 min., za každý příklad 10 bodů, k postupu na ústní je potřeba 20 bodů. Na ústní část bere myslím 4 lidi za půlhodiny podle abecedy, první jdou v 15:00, poslední v 18:00. (písemka byla od 11:00).

Řešení:
1,
rozšíříme ten výraz -1+1 a použijeme na to vztah a^n - 1 = (a-1)(a^(n-1)+ a^(n-2) +..+1 ), kde a = (nn-1)^(1/n). Dostaneme výraz nn/ ( (a^(n-1)+ a^(n-2) +..+1 ) +1, ten zlomek zkátíme o n*n a vyjde, že zlomek jde k 1/(n+1) = 0 a tedy celý výraz jde k 1.
2,
rozepíšeme si cotg na cos/sin, převedeme na stejného jmenovatele, použijeme vztah pro sin(x-y), dostaneme -1 * x/sin x = -1
3,
zde jsem měl problém s inflexními body, pravděpodobně mi druhá derivace nevyšla, neočekávejte, že vyjde moc pěkně, já jsem se dostal na rovnici čtvrtého stupně při výpočtu infl.bodů. Prý možná inflexní body vyjdou pro 0, +-sqrt(3). Funkce je lichá, asymptota pro +-inf je y=x, lokální maximum má v -1, lok. min v 1. Vypadá jako rozpůlená kapka nakloněná podle y=x :-)
4,
Teorii jsem nikdy neměl rád...

Jakožto člověk nedokonalý a chybující prosím o případné opravy, pokud je objevíte...

Zadání skupiny A:

1. Spočtěte limitu:
   lim [n->inf] : (n^2 +1)^(1/n)

2. Spočtěte:
   lim [x->0+] : (arccos(1-x) - arccos(1-2x))/sqrt(x)

3. Vyšetřete průběh funkce:
   f(x) = (x^3 + 3x)^(1/3)

4. Nechť funkce f je konvexní na intervalu [0,1] a označme M množinu všech bodů z [0,1] v nichž funkce f nabývá svého minima. Ukažte, že M je interval. Musí být M uzavřený interval? (Můžete se odvolávat na věty a tvrzení z přednášky.)

Už mám za sebou i ústní část...z 30 lidí 11 neprošlo písenmou částí, průměrné zisky z příkladů pro variatnu B byly 5,6; 6,7; 6; 1,9; První dva příklady většinou buď všechno (10) nebo nic, třetí měl jediný člověk na plný počet a za poslední bylo nejvíce 7 bodů.
:!: Výše uvedené řešení prvního příkladu bylo ohodnoceno 0 body :!: :(
Chyba prý spočívá v tom, že v jedné chvíli říkám, že n+1 členů, každý jdoucí k 1 jde k nekonečnu, což se mu nějak nezdálo...ale číselně mi to vyšlo;-)
Ve třetím příkladě jsem dostal 6 bodů, když jsem neměl druhou derivaci, za teorii jsem dostal 5 bodů, když jsem to odůvodnil , pokud by existovala druhá derivace.
Na ústním si vytáhnete papírek se dvěma otázkami, jedna formulace věty a jedna věta i s důkazem, prý se tam vyskytují i "lahůdky" jako Cauchyho tvar zbytku, já jsem si vytáhl Bolzano-Cauchyovu podmínku pro konvergenci posloupnosti a i s důkazem L'Hopitala 0/0. Na přípravu je poměrně dost času, takže jsem stihl ve volném čase dokázat i Bolzana-Cauchyho (pro dobrý dojem :) ). Oba důkazy mi uznal jako v pořádku, řekl mi, že to je tak mezi 1-2 a PAK teprv se kouknul na písemku, co jsem tam měl špatně. Tzn písemka slouží jako vstupenka na ústní, její výsledek hraje roli při nerozhodnosti známky. I přes mojí písemku za 21 bodů mi dal ještě otázku, kterou kdybych dokázal, tak mám zřejmě za 1, úkol zněl dokončit důkaz úlohy č. 4 v písemce, tedy :idea: zjistěte si, jaké je správné řešení písemky! Celkový dojem z ústní zkoušky je příznivý, myslím, že se snaží nevyhazovat :-)

Schiroo wrote:Tzn písemka slouží jako vstupenka na ústní, její výsledek hraje roli při nerozhodnosti známky.

Ve vetsine pripadu to tak bude, ale rekl bych, ze pokud ten clovek jede v ustnim na jednicku a ma v pisemce malo bodu, tak se ho jeste na neco zepta (i kdyz ustni cast vypadala jednoznacne). Alespon u me (mel jsem myslim 27 nebo 29 bodu, spis min) rekl pak neco jako, ze "i pres tu pisemku to na jednicku vypada" a na neco se jeste zeptal (pomerne jednoducheho).

řešení A

1. l Hospital (prevedete te to na exp(1/n*ln(n^2+1))) tim ziskate exp(1/(n^2+1)*2n) a to je v nekonecnu 1. Jen je vhodne na zacatku napsat ze vyuzivaate Heineho vetu(takovyhle triky vam u posloupnosti neprojdou), tou si to prevedete na funkci z R do R, takhle ji spoctete a nakonec dodate ze diky Heineho vete to plati i pro posloupnost

2. pro zmenu l Hospital a pak mnoho uprav...myslim ze vyslo neco jako (1+sqrt(2))/sqrt(2)...plus minus nevim to jiste
   3)hnus ale dala se, dat pozor na to, ze prvni derivace neni definovana v nule. Pokud si ale spoctete limitu derivace pro x->0 zprava a zleva tak zjistite ze se rovnaji takze tam ta derivace je (myslim ze plus nekonecno)
   4)staci vyjit z definice konvexity. Vezmete si libovolne dva body x a x1 o nichz prohlasite, ze v nich lezi minimum. Pak si vyberete nejaky bod z, ktery lezi mezi nimi, a dosadite do definice konvexity. Kdyz to dopoctete (vyuzijete mimo jine toho, ze f(x)=f(x1) protoze je tam minimum) tak se dostanete ke vztahu f(z)<=f(x). Protoze je ale v x minimum tak zaroven musi platit (z def minima) ze f(x)<=f(z). Z toho plyne f(x)=f(z) a tedy v bode z je minimum. Tim jsme ukazali, ze mezi libovolnymi dvema body, ve kterych je minimum jsou jen minima. A z toho plyne ze tvori spojity interval. kdyby byly ty intervaly dva, tak by mezi nejakymi dvema minimy nebylo minimum a to je spor s vyse uvedenym. Mozna je dobre se zminit o tom ze je-li tam to minimum jen jedno tak je samo o sobe intervalem...

co se tyce druhe casti existuje protipriklad (bohuzel ten uz sem nevymyslel a mam pocit ze ho nevymyslel nikdo) i Rataj o nem prohlasil ze to nebylo uplne snadne:-) tim protiprikladem je konstantni fce( ta je konvexni) a v jednom krajnim bode najednou ulitne (predpis treba f(x)=1
pro x=[0,1) a f(x)=2 pro x=1 nakreslete si to a uvidite...) jinak u zkousky byl hodnej, vyplati se toho napsat hodne (pak nema sanci to moc cist a hledat chyby) a mluvit. nesnazi se skoupat (aspon co sem slysel kolem sebe), na druhou stranu pokud mu reknete blbost, tak si toho vzdycky vsimnul. A pripravte se, ze obcas se na neco zepta ve stylu co by kdyby (aby videl jak moc tomu rozumite). Co se tyce pisemky, mel sem dojem ze cim lepe ji napisete, tim vice je vam "duverovano" (to preskocte to ste jiste udelal spravne a tak) takze se ji snazte napsat co nejlip :-) spolubydliciho, kterej mel "jenom" 29 bodu, se vyptaval mnohem vic na vetsi detaily. Ale mozna je to jen nahoda...
Tak hodne stesti