12.6.2015 Jelínek

Termín 12.6.2015 (Jelínek):

1) Porovnejte následující funkce podle rychlosti jejich růstu: [5 bodů]
a) $n^{\sqrt{n}}$, b) $\binom{2^n}{n}$, c) $(3n)!$
** ta první funkce byla trošku jinak, ale víceméně takhle*

2) Zformulujte a dokažte König-Egerváryho větu o velikosti párování a vrcholového pokrytí. [10 bodů]

3) Definujte (n,k,d)-kód. Napište příklad (5,2,3)-kódu. [5 bodů]

4) Počet koster úplného bipartitního grafu $K_{m,n}$ (partity velikosti $m$ a $n$ vrcholů) je ... (nemusíte dokazovat). Kolik koster má graf $K_{m,n}^{-}$ vzniklý z grafu $K_{m,n}$ odebráním jedné hrany? [10 bodů]

Náznak řešení:

1. Buď pomocí horních a dolních odhadů funkcí (viz první cvikopřednáška), nebo analyticky přes limity (nevím, jestli uznával, ale asi jo).

2. Věta a důkaz z přednášky (20. března).

3. Definice z přednášky (15. května). Jako příklad (5,2,3)-kódu jsem si nějaký vymyslel (chce to trochu kreativity). Z definice je zřejmé, že takový kód C bude mít 2² = 4 kódových slov (vektorů) o délce 5. A každé dva se musí lišit v alespoň 3 bitech. Splňuje to například:

C={(1,1,1,1,1),(1,1,0,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,0,1)}

4. Viz přednáška (3. dubna): věta o tom, kolik koster obsahujících jednu konkrétní hranu má úplný graf. Tedy výsledek je (počet koster celkem - počet koster s konkrétní hranou). Akorát pozor, protože na přednášce jsme to dělali pro úplný graf, tentokrát je to úplný bipartitní graf!