Zkouška - Šaroch 3. 2. 2020

1. Definice normální podgrupy. Máme f: G -> G' homomorfismus. Dokažte, že Ker(f) je normální podgrupa G. [3 body]

2. Centrum grupy G() je Z(G) = { g ∈ G | ∀h ∈ G platí gh = h*g }. Najděte centrum symetrické grupy S3 s operací skládání. [2 body]

3. Najděte všechna (x, y) ∈ Z^2 takové, že x^6 + x + xy = 1 v mod 7 [3 body]

4. Znění a důkaz vzorečku pro výpočet Eulerovy funkce. [3 body]

5. Spočtěte řád multiplikativní grupy Z16*/<9>. Je tato grupa cyklická? [3 body]

6. Máme okruh R = Z2[x] a ireducibilní polynom x^3 + x + 1 ∈ R. Spočítejte inverz k (x+1) + fR v tělese T = R/fR. [3 body]
   Bonus: Máme okruh S(+, -, 0, , 1) a prvek a ∈ S takový, že a^n = 0. Dokažte, že 1 + a ∈ S. [2 body]

Známkování:
14+ ... 1
10+ ... 2
6+ ... 3

Moje řešení:

1. viz skripta, důkaz poznámka 4.3

2. Buď můžete obecně ukázat, že transpozice ani trojcyklus tu podmínku nesplňují a v centru je tedy pouze identita. Anebo můžete využít toho, že centrum je nutně normální podgrupa a S3 má pouze tři normální podgrupy - identita, celá grupa, trojcykly + id. A pak vám stačí ukázat, že pro trojcyklus to nefunguje a tedy nutně je v centru jen identita.

3. Stačí počítat v Z7^2 a všimnout si toho, že z Eulera je x^6 = 1 pro x nesoudělné se 7. A pro x = 0 to nemá řešení. Víme, že Z7 je těleso, takže y vždy dopočítáme jednoznačně a řešení je libovolné x nesoudělné se 7 a y = 6 v mod 7 (stačí zobecnit do Z).

4. viz skripta

5. Spočítejte si prvky Z16* (to jsou ty nesoudělné se 16), podívejte se, co vám vygeneruje 9 (1 a 9). Pomocí 1. věty o izomorfismu f: G/Ker(f) -> Im(f), f je izomorfismus. Tedy chceme, aby Ker(f) = {1, 9}. Použijeme modulo 8 a Im(f) je Z8*. Řád Z8* je 4. Cyklická není, každý prvek je sám sobě inverzní.

6. Z vlastnosti dělení můžeme uvažovat, že x^3 = -x - 1 = x + 1 v mod 2. Stačí nám najít takový prvek y, že (x+1)y = 1. Takže pro y = x^2 + x je (x+1)(x^2 + x) = x^3 + x^2 + x^2 + x = x + 1 + x = 1.