Mějme {: alt="f, g, h, m \in Q[x]" type="image/"}, kde {: alt="m, h" type="image/"} jsou nesoudělné. Dokažte, že pokud je {: alt="fh \equiv gh" type="image/"} mod {: alt="m" type="image/"} implikuje {: alt="f \equiv g" type="image/"} mod {: alt="m" type="image/"}. Napište obor integrity, kdo tato implikace neplatí.
a) Platí v {: alt="Z_7[x]" type="image/"} Bezoutka? Formulace/protipříklad
b) Najděte všechny polynomy {: alt="f \in Z_7[x]" type="image/"}, pro které platí {: alt="x f \equiv 2" type="image/"} mod {: alt="x^3 + x + 1" type="image/"}Najděte rozklad polynomu {: alt="\alpha x^2 + x + (\alpha + 1)" type="image/"} v {: alt="F_9[x]" type="image/"}. Kde {: alt="F_9 = Z_3[\alpha]/(\alpha^2 + 1)" type="image/"}.
a) Reed-Salomonovy kódy. Co to je, jak a proč.
b) Dekódujte a odhalte chybu.a) Existuje šedesátiprvková grupa s prvek řádu 20? Nez něj? Důkaz/protipříklad.
b) Buď G grupa, platí {: alt="\langle a, b \rangle_G = {a^k, b^k, k \in Z}" type="image/"}? Důkaz/protipříklad.Působení {: alt="G = A_5" type="image/"} na {: alt="X = {1, 2, 3, 4, 5}^2" type="image/"} uspořádaných dvojic, kde {: alt="\pi((x, y)) = (\pi(x), \pi(y))" type="image/"}.
Kolik je orbit? Jaké mají prvky?
Co je {: alt="G_{(1, 2)}" type="image/"} ? A co je {: alt="X_{(1 2 3)}" type="image/"}?
Napište a dokažte lemma o vztahu stabilizátoru a orbity.
===================
Odpovědi/nástřely:
{: alt="Q[x]" type="image/"} je Gaussovský, takže jednoznačné rozklady. Implikace platí z rozkladů prvků {: alt="h(f-g)" type="image/"}, {: alt="(f-g)" type="image/"} a {: alt="h" type="image/"}.
Neplatí v OI {: alt="Z[\sqrt(5)]" type="image/"}, který nemá jednoznačné rozklady -> {: alt="2 | (\sqrt(5) + 1)(\sqrt(5) - 1)" type="image/"}, ale nedělí ani jeden z těch dvou.a) {: alt="Z_7" type="image/"} je těleso, {: alt="Z_7[x]" type="image/"} je tedy euklidovský a tedy platí v něm Bezoutka. V euklidově algoritmu jenom musím počítat s normou.
b) {: alt="f = 5x^2 + 5 + k(x^3 + x + 1)" type="image/"}pro {: alt="k \in Z_7[x]" type="image/"}Polynom je irreducibilní prvek.
Žádný z 9-ti prvků Z {: alt="F_9" type="image/"} není jeho kořen, tudíž nelze rozložit.a) Samopravné kódy fungující na interpolaci polynomů.
b) Stačí si tipnout funkci, která prochází všemi body až na jeden.a) Existují obě. Grupa {: alt="G = Z_{60}" type="image/"} má prvek řádu 20, Grupa {: alt="G = Z_2 \times Z_2 \times Z_3 \times Z_5" type="image/"} ho nemá.
b) Neplatí, {: alt="\langle a, b \rangle_G" type="image/"} musí obsahovat a (a taky b), ale to není obsaženo v {: alt="{a^k, b^k, k \in Z}" type="image/"}.Dvě orbity - pět prvků (a, a) a dvacet prvků (a, b). (a, a) se nezobrazí na nic jiného než jiné (b, b), zatímco pro libovolné a, b, c umím najít permutaci takovou, abych z (a, b) vygeneroval (a, c) nebo (c, b).
{: alt="G_{(1, 2)}" type="image/"} jsou identita a trojcykly neobsahujíci 1 nebo 2.
{: alt="X_{(1 2 3)}" type="image/"} jsou dvojice neobsahující 1, 2 nebo 3.