K řešení testu používejte pouze tužku papír, žádné zápisky, kalkulačky apod. Pište každou úlohu na jinou stránku. Tvrzení a definice pečlivě formulujte včetně všech předpokladů. Důkazy pište stejně formálně jako ve skriptech. Odpovědi na otázky zdůvodněte. Pokud v argumentu používáte nějaké netriviální tvrzení z přednášky, uveďte to (často budete vyzváni, abyste všechna použitá tvrzení zformulovali).
Časový limit je 120 minut.
(9 bodů) Buď {: alt="R" type="image/"} obor integrity. Definujte, co to je podokruh a podtěleso tohoto oboru. Rozhodněte,
které z následujících podmnožin tvoří podokruh, resp. podtěleso, oboru {: alt="Q[x]" type="image/"}.
{: alt="{f \in Q[x]: f(1)\in Z} " type="image/"}
{: alt="{f \in Q[x]: f(1) \geq 0} " type="image/"}
{: alt="{f \in Q[x]: deg(f)\leq0} " type="image/"}(16 bodů) Formulujte větu, která charakterizuje gaussovské obory dvěma velmi rozdílnými způsoby (rozveďte i definici gaussovskosti, napište, co přesně znamená existence a jednoznačnost rozkladů). Jednu implikaci si vyberte a dokažte, pomocná lemmata zformulujte.
(20 bodů)
a) Popište konstrukci šestnáctiprvkového tělesa. Popište jej jako faktorokruh {: alt="!F_{16} = T[\alpha]/(f) " type="image/"}pro
konkrétní {: alt="T" type="image/"}, {: alt="f" type="image/"}, napište explicitně, co jsou jeho prvky a jak jsou definovány operace, popište, jak se spočítá inverzní prvek.
b) Je {: alt="F_{16}[x]" type="image/"} eukleidovský obor?
c) Spočtětč {: alt="NSD(x^5 + a, x^2 + a)" type="image/"} nebo zdůvodněte, Že neexistuje.(11 bodů)
a) Definujte dvěma ekvivalentními způsoby řád prvku.
b) Obsahuje grupa {: alt="S_8" type="image/"} prvek řádu 14? Obsahuje grupa {: alt="D_8" type="image/"} prvek řádu 4? Pokud ano, napište jej. Pokud ne, dokažte (pokud používáte nějaké tvrzení z přednášky, dokažte jej také).(16 bodů)
a) Formulujte a dokažte Burnsideovu větu.
b) Kolika způsoby lze obarvit stěny pravidelného čtyřstěnu k různými barvami? Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud se liší otočením čtyřstěnu.(18 bodů) Hloupý student inženýrství špatně přečetl skripta z algebry a implementoval Diffe-Hellmanův algoritmus s grupou {: alt="Z_{1009} = \langle100\rangle" type="image/"}. Číslo 1009 je prvočíslo, to mu strýček Wolfram poradil dobře.
a) Alice poslala Bobovi hodnotu 10, Bob poslal Alici hodnotu 1000. Zjistěte heslo.
b) Studentovi poraďte, v čem udělal chybu a jak byste to udělali vy. Poradit můžete i Bobovi.
c) Mně vysvětlete, proč je 100 generátor té grupy a kolik generátorů tato grupa obsahuje.
hodnocení 55-67-80 (+ 10 za kvizy)
2 hodiny času nebo 3 x 45 min pro virtuální zkoušku