6.11.2019 1. záp. písemka - Dvořák

1. písemka z Algebry I. - 5. listopadu 2019

1. Ukažte, že pro $n \in \mathbb{N}$ jsou čísla $2n+1$ a $3n + 1$ nesoudělná.
   (3 body)

2. Najděte všechny konečné podmnožiny v $\mathbb{Q}$, které jsou uzavřené na sčítání a ukažte, že jsou vskutku všechny.
   (3 body)

3. Najděte všechny Bézoutovy koeficienty čísel $42$ a $68$.
   (5 bodů)

4. Čínský císař Tchaj-cung poslal do bitvy roku 630 svých nejlepších 1000 mužů. Když chtěl po vítězné bitvě přepočítat přeživší, usnadnil si práci, neboť dobře znal píseň z Sunziho knihy Sunzi Suanjing, a nechal vojáky vyrovnat do řad nejprve po sedmi - zbyli dva, pak do řad po devíti - zbyli také dva a nakonec je nechal nastoupit do jedenáctistupů, kde zbyl jen jeden. Po chvíli se pln zklamání odebral do svého sídla, neboť zjistil jaké byly ztráty. Kolik vojáků se vrátilo z bitvy naživu?
   (9 bodů)