11.12.2019 2. záp. písemka - Dvořák

2. písemka z Algebry I. - 11. prosince 2019

1. Označme $C_{29400}$ cyklickou grupu řádu $29400$ generovanou prvkem $a \in G$.

   1. Najděte nějaký další generátor grupy $G.$ (2 body)

   2. Určete velikost grupy $\mathrm{Aut}(G)$. (3 body)(2+3=5 bodů)

2. Ukažte, že v grupě $(\mathbb{Q}, +)$ mají každé dvě netriviální podgrupy netriviální průnik.
   (4 body)

3. Pro grupu $G$ definujeme její centrum jako množinu $\mathrm{Z}(G) = \{ g \in G \, | \, g \cdot h = h\cdot g \,\,\, \forall h \in G \}$

   1. Ukažte, že pro každou grupu $G$ je její centrum normální podgrupou v $G$. (4 body)

   2. Popište $\mathrm{Z}(\mathbb{S}_n)$ pro obecné $n \in \mathbb{N}$. (7 bodů)(4+7=11 bodů)