Matfyz Wiki

11.12.2019 2. záp. písemka - Dvořák

awk at 2019-12-12 12:01:54

2. písemka z Algebry I. - 11. prosince 2019

  1. Označme C_{29400}{: alt="C_{29400}" type="image/"} cyklickou grupu řádu 29400{: alt="29400" type="image/"} generovanou prvkem a \in G{: alt="a \in G" type="image/"}.

    1. Najděte nějaký další generátor grupy G.{: alt="G." type="image/"} (2 body)

    2. Určete velikost grupy \mathrm{Aut}(G){: alt="\mathrm{Aut}(G)" type="image/"}. (3 body){: style="list-style-type:lower-alpha"}(2+3=5 bodů)

  2. Ukažte, že v grupě (\mathbb{Q}, +){: alt="(\mathbb{Q}, +)" type="image/"} mají každé dvě netriviální podgrupy netriviální průnik.
    (4 body)

  3. Pro grupu G{: alt="G" type="image/"} definujeme její centrum jako množinu \mathrm{Z}(G) = { g \in G , | , g \cdot h = h\cdot g ,,, \forall h \in G }{: alt="\mathrm{Z}(G) = { g \in G , | , g \cdot h = h\cdot g ,,, \forall h \in G }" type="image/"}

    1. Ukažte, že pro každou grupu G{: alt="G" type="image/"} je její centrum normální podgrupou v G{: alt="G" type="image/"}. (4 body)

    2. Popište \mathrm{Z}(\mathbb{S}_n){: alt="\mathrm{Z}(\mathbb{S}_n)" type="image/"} pro obecné n \in \mathbb{N}{: alt="n \in \mathbb{N}" type="image/"}. (7 bodů){: style="list-style-type:lower-alpha"}(4+7=11 bodů){: style="list-style-type:decimal"}