Matfyz Wiki

Šaroch 23.1.2020

SaNuel at 2020-01-23 21:18:54

  1. Definujte ideál na okruhu R. Koľko prvkov má okruh \mathbb{Z}_5[x]/(x^3+2x+3)\mathbb{Z}_5[x]{: alt="\mathbb{Z}_5[x]/(x^3+2x+3)\mathbb{Z}_5[x]" type="image/"}? Ide o teleso?

  2. Nájdite všetky n \in \mathbb{N}{: alt="n \in \mathbb{N}" type="image/"} také, že \phi(n) = 18{: alt="\phi(n) = 18" type="image/"} (kde \phi{: alt="\phi" type="image/"} je Eulerova funkcia).

  3. Nájdite všetky generátory multiplikatívnej grupy telesa \mathbb{Z}_{13}{: alt="\mathbb{Z}{13}" type="image/"}, teda \forall a \in \mathbb{Z}{13}^*:<a> = \mathbb{Z}{13}^*{: alt="\forall a \in \mathbb{Z}{13}^:<a> = \mathbb{Z}_{13}^" type="image/"}.

  4. Dokážte, že všetky ideály v okruhu \mathbb{T}[x]{: alt="\mathbb{T}[x]" type="image/"}, kde \mathbb{T}{: alt="\mathbb{T}" type="image/"} je komutatívne teleso, sú hlavné.

  5. Spočítajte 2 posledné cifry 87^{85^{83}}{: alt="87^{85^{83}}" type="image/"}.

  6. Uvažujme aditívnu grupu racionálnych čísel (\mathbb{Q},+,-,0){: alt="(\mathbb{Q},+,-,0)" type="image/"}. Overte, že pre p{: alt="p" type="image/"} prvočíslo je množina L_p={ m/n; m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, p \nmid n }{: alt="L_p={ m/n; m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, p \nmid n }" type="image/"} jej podgrupou. Ďalej dokážte, že okrem zobrazenia f_0:\mathbb{Q}\rightarrow L_p{: alt="f_0:\mathbb{Q}\rightarrow L_p" type="image/"}, ktoré priraďuje nulu každému racionálnemu číslu, neexistuje iný grupový homomorfizmus z \mathbb{Q}{: alt="\mathbb{Q}" type="image/"} do L_p{: alt="L_p" type="image/"}.

  7. Koľko obsahuje symetrická grupa S_5{: alt="S_5" type="image/"} prvkov rádu 6?

SaNuel at 2020-01-23 21:37:32

  1. (?) 125; nejde o teleso, lebo napr. daný polynóm nie je ireducibilný.

  2. Skúšaním 19,38,27,54 - tu trik, že ak fí(n) je nepárne číslo, tak jeho dvojnásobok má rovnaké fí, keďže *2 -> *(2-1)*2^0.

  3. Skúšaním je 2 jeden z generátorov, následne existuje prirodzený homomorfizmus medzi Z13* a Z12+, teda stačí dosadiť 1 v Z12+ -> 2 v Z13* (1 triviálny generátor aditívnej grupy), potom nájsť generátory Z12+ (GCD(a,12) = 1), teda 1,5,7,11 a tie cez homomorfizmus vyrátať v Z13*, teda 2^1,2^5,2^7,2^11 (mod 13), čo je 2,6,11,7.

  4. ?

  5. skrz eulerovu vetu ... 7

  6. Na overenie dokázať uzavretosť na +, neutr. prvok, inverzy prvkov. Druhá časť sporom (?).

  7. Permutácia má rád veľkosti rovnej LCM veľkostí jej cyklov. (eg. (123)(4567)(89) má rád veľkosti LCM(3,4,2) = 12), teda rád 6 majú permutácie s cyklami veľkosti 6 (nie sú v S5) a veľkosti 3 a 2. Počet takých cyklov je potom {5 \choose 3} * 3! / 3 = 20{: alt="{5 \choose 3} * 3! / 3 = 20" type="image/"}, resp. prvky_v_trojcykle * usporiadanie_vrámci_cyklu / rotácie_v_cykle ( (123) = (312) = (231) ).

Za správnosť neručím, no postup by mohol viac-menej sedieť. Keby dačo, nech ma nejaká dobrá duša opraví, prinajlepšom doplní uspokojivé odpovede za otázničky. Zdar! :D

vaclav.volhejn at 2020-01-27 16:19:34

Doplním:

  1. Abychom zdůvodnili, že jiná řešení neexistují, můžeme provést rozbor případů, kdy si zapíšeme 18 = 2 \cdot 3^2{: alt="18 = 2 \cdot 3^2" type="image/"} a uvážíme, že n{: alt="n" type="image/"} může být součin nějakých mocnin prvočísla, takže by se mohlo stát třeba n = a \cdot b, \phi(n) = \phi(a) \cdot \phi(b) = 2 \cdot 9{: alt="n = a \cdot b, \phi(n) = \phi(a) \cdot \phi(b) = 2 \cdot 9" type="image/"}, takže by stačilo najít dvě nesoudělná čísla s \phi(a) = 2{: alt="\phi(a) = 2" type="image/"}, \phi(b) = 9{: alt="\phi(b) = 9" type="image/"}. Ukáže se ale, že taková neexistují (\phi(n)=9{: alt="\phi(n)=9" type="image/"} ani \phi(n)=3{: alt="\phi(n)=3" type="image/"} nenastane).

  2. viz skripta, Důsledek 10.3

  3. Wolfram souhlasí

  4. L_p{: alt="L_p" type="image/"} jsou zlomky, jejichž jmenovatel není násobek p. Jaká je hodnota \phi(\frac{1}{p}){: alt="\phi(\frac{1}{p})" type="image/"}? Protože \phi{: alt="\phi" type="image/"} je homomorfismus, platí pro a \in \mathbb{N}{: alt="a \in \mathbb{N}" type="image/"}identita a \cdot \phi(\frac{1}{ap}) = \phi(\frac{1}{p}){: alt="a \cdot \phi(\frac{1}{ap}) = \phi(\frac{1}{p})" type="image/"} (trochu neformálně, protože násobení "nemám"). Proto pro každé k \in \mathbb{N}{: alt="k \in \mathbb{N}" type="image/"} platí \phi(\frac{1}{p^k}) = \frac{\phi(\frac{1}{p})}{p^{k-1}}{: alt="\phi(\frac{1}{p^k}) = \frac{\phi(\frac{1}{p})}{p^{k-1}}" type="image/"}. Když zvolíme dostatečně velké k, je pravá strana zlomek, jehož jmenovatel je násobek p. Aby tohle neznamenalo spor, musí platit \phi(\frac{1}{p}) = 0{: alt="\phi(\frac{1}{p}) = 0" type="image/"}. Z toho už snadno plyne, že všechny zlomky, jejichž jmenovatel je násobek p, se musí také zobrazit na 0.

Nyní vezmeme \phi(\frac{1}{p}) + \phi(\frac{a}{b}) = 0 + \phi(\frac{a}{b}) = \phi(\frac{b+ap}{pb}){: alt="\phi(\frac{1}{p}) + \phi(\frac{a}{b}) = 0 + \phi(\frac{a}{b}) = \phi(\frac{b+ap}{pb})" type="image/"}, kde jmenovatel b není násobek p. Jmenovatel pravé strany je tedy opět násobek p, takže \phi(\frac{a}{b}) = 0{: alt="\phi(\frac{a}{b}) = 0" type="image/"}.

  1. Souhlas.