Matfyz Wiki

[Šaroch] 2019 Vzorové zadání zk. písemky

awk at 2019-12-18 15:26:10

Pro ty, kterým ji Šaroch neposlal emailem.

Prepisemka (2019).pdf

Attachments:

vaclav.volhejn at 2020-01-27 15:29:57

Moje řešení:

  1. rmod H není kongruence; dokážeme to pomocí věty 8.2, která říká, že ekvivalentně můžeme ověřit, že H není normální podgrupa. To ukážeme např. volbou g = (2;3), h = (1;2){: alt="g = (2;3), h = (1;2)" type="image/"}, pak g \circ h \circ g^{-1} = (2;3) \circ (1;2) \circ (2;3) = (1;3) \notin H{: alt="g \circ h \circ g^{-1} = (2;3) \circ (1;2) \circ (2;3) = (1;3) \notin H" type="image/"}

  2. Neexistuje. Kdyby byl \psi{: alt="\psi" type="image/"} homomorfismus, bude \psi(L){: alt="\psi(L)" type="image/"} podalgebra (podokruh?) H. Protože \psi{: alt="\psi" type="image/"} je prosté a L je těleso, je \abs{\psi(L)} = 8, \abs{\psi(L)^*(\cdot)} = 7{: alt="\abs{\psi(L)} = 8, \abs{\psi(L)^(\cdot)} = 7" type="image/"} (řád multiplikativní grupy), ale \abs{K*(\cdot)} = 15{: alt="\abs{K(\cdot)} = 15" type="image/"}, což je ve sporu s Lagrangovou větou. Řešení obecnější úlohy (kdy má konečné těleso podtěleso daného řádu?) viz StackExchange: https://math.stackexchange.com/question ... ite-fields

  3. Stačí vzít f = GCD(p, q){: alt="f = GCD(p, q)" type="image/"}, kde bereme GCD polynomů. Polynomy umíme dělit, takže můžeme použít Eukleidův algoritmus. Vyšel mi polynom f = x + 3{: alt="f = x + 3" type="image/"} (na násobku nezáleží). Pak f\mathbb{R}[x] \subseteq p\mathbb{R}[x] + q\mathbb{R}[x]{: alt="f\mathbb{R}[x] \subseteq p\mathbb{R}[x] + q\mathbb{R}[x]" type="image/"}, protože jak p, tak q jsou násobky f. Opačná inkluze platí díky tomu, že f lze vyjádřit jako "lineární kombinaci" p a q, jak říká rozšířený Eukleidův algoritmus.

  4. (viz skripta)

  5. Ekvivalentně chceme ukázat a+a=0{: alt="a+a=0" type="image/"}. Upravíme: a+1 = (a+1)\cdot(a+1) = a \cdot a + a + a + 1 = a + a + a + 1{: alt="a+1 = (a+1)\cdot(a+1) = a \cdot a + a + a + 1 = a + a + a + 1" type="image/"} a když odečteme a+1{: alt="a+1" type="image/"}, dostaneme už a+a = 0{: alt="a+a = 0" type="image/"}.

  6. Chceme číslo spočítat mod 100. Spočítáme zbytek mod 4 a mod 25, z toho už pak pomocí čínské zbytkové věty (CRT) dostaneme výsledek mod 100. mod 4 je to zjevně 1.
    mod 25 spočítáme tak, že víme 37^{38^{39}} \equiv 12^{38^{39}} \mod 25{: alt="37^{38^{39}} \equiv 12^{38^{39}} \mod 25" type="image/"} a z Eulerovy věty 12^{\phi(25)} = 12^{20} \equiv 1 \mod 25{: alt="12^{\phi(25)} = 12^{20} \equiv 1 \mod 25" type="image/"}, takže stačí spočítat 38^{39} \mod 20{: alt="38^{39} \mod 20" type="image/"}, na což použijeme podobný trik. Dostaneme 38^{39} \mod 20 = 12{: alt="38^{39} \mod 20 = 12" type="image/"} a 37^{38^{39}} \mod 25 = 6{: alt="37^{38^{39}} \mod 25 = 6" type="image/"}, celkově je výsledek 81 (můžeme ověřit ve WolframAlpha)