Varianta B dnešní zápočtové písemky:
(Pro úspešné napsání je potřeba získat alespoň 10 bodů)
Příklad 1. (6 bodů) V ledničce máme pět syrových a dvě uvařená vajíčka. Náhodně vybereme tři vajíčka a ty dáme na 10 minut vařit (čímž se syrová vajíčka uvaří) a pak je na noc uložíme zpět do ledničky.
Označme {: alt="X" type="image/"} počet syrových vajíček v ledničce. Určete rozdělení a střední hodnotu {: alt="X" type="image/"}
Ráno vybereme z ledničky náhodně jedno vajíčko a to je uvařené. S jakou pravděpodobností zbývají v ledničce právě dvě uvařená vajíčka?
Označme jako {: alt="Y" type="image/"} počet uvařených vajíček, které jsme dali vařit. Rozhodněte, zda jsou {: alt="X" type="image/"} a {: alt="Y" type="image/"} nezávislé. Řádně zdůvodněte.{: style="list-style-type:lower-alpha"}
Příklad 2. (5 bodů) Pan Karel je nadšený cyklista a na kolo vyráží každý den bez ohledu na počasí. Lze předpokládat, že vzdálenosti jím ujeté v jednotlivé dny jsou navzájem nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 30 km a směrodatnou odchylkou 10 km.
Pan Karel se vsadil s manželkou, že za měsíc (30 dní) ujede na kole více než tisíc kilometrů. S jakou pravděpodobností pan Karel tuto sázku vyhraje?
Pomozte panu Karlovi modifikovat výše uvedenou měsíční sázku tak, aby pravděpodobnost, že sázku vyhraje manželka, byla menší než 5%.{: style="list-style-type:lower-alpha"}
Příklad 3. (5 bodů) Předpokládejme, že doba čekání ve frontě na poště (v hodinách) je náhodná veličina s hustotou
{: alt="f(x) = \begin{cases} b(2 - \sqrt{x}) & x \in [0,4], \ 0 & \text{jinak.} \end{cases}" type="image/"}
Nalezněte {: alt="b > 0" type="image/"} tak, aby {: alt="f" type="image/"} byla hustota.
Na poště již aktuálně čekáte 1 hodinu a stále ještě nejste na řadě. S jakou pravděpodobností budete muset čekat ještě víc než další jednu hodinu?
Spočtěte střední dobu čekání na poště.{: style="list-style-type:lower-alpha"}
Příklad 4. (4 bodů) Ze zkušenosti víme, že počet potřebných opravných termínů jednoho studenta na zkoušce z Pravděpodobnosti a statistiky je náhodná veličina s rozdělením
{: alt="\mathrm{P}(X = 0) = p^2, \quad \mathrm{P}(X=1) = 2p(1-p), \quad \mathrm{P}(X = 2) = \left(1 - p\right)^2" type="image/"}
kde {: alt="p \in (0,1)" type="image/"} je neznámý parametr. Předpokládejme, že počty opravných termínů jednotlivých studentů jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny {: alt="X_1,\ldots,X_n" type="image/"}.
Odhadněte {: alt="p" type="image/"} momentovou metodou.
Rozhodněte, zda je odhad z a. nestranný a konzistentní.
Pro 25 studentů jsme napozorovali celkem 15 opravných termínů dohromady. Vyčíslete pro tato data odhad z a. a navrhněte odhad pravděpodobnosti, s jakou náhodně vybraný student potřebuje dva opravné termíny.{: style="list-style-type:lower-alpha"}
Vybrané hodnoty distribuční a kvantilové funkce normovaného normální rozdělení přiloženy.