Dnešní opravná zápočtová písemka:
Start: 8:00
Limit: 90 minut
K úspěšnému napsání písemky je zapotřebí alespoň 10 bodů.
Zápočtová písemka
Varianta B
Příklad 1. (4 body) Náhodný los vám přiřadí jednoho z pěti soupeřů. Soupeře A porazíte s pravděpodobností 3/4, soupeře B s pravděpodobností 1/2, soupeře C s pravděpodobností 2/3, soupeře D s pravděpodobností 1/3 a soupeře E dokonce s pravděpodobností 7/8.
(a) S jakou pravděpodobností vyhrajete a postoupíte do dalšího kola?
(b) Utkání jste prohrál. S jakou pravděpodobností jste hrál proti soupeři B?
Příklad 2. (6 bodů) Délka televizní reklamy (v minutách) je náhodná veličina se spojitým rozdělením s hustotou
{: alt="f(x)=\left{\begin{array}{ll}2(c-x),& \text{pro }x \in \left[0,c\right]\0& \text{jinak.}\end{array}\right." type="image/"}
(a) Dopočítejte hodnotu {: alt="c>0" type="image/"}, aby {: alt="f" type="image/"} byla hustota pravděpodobnosti, a načrtněte graf {: alt="f" type="image/"}.
(b) Spočítejte očekávanou dobu reklamy.
(c) S jakou pravděpodobností reklama trvá méně než 0,5 minuty?
(d) Cena reklamy je 10000 Kč za minutu + 1000 Kč (čas je brán spojitě). Určte hustotu (rozdělení) ceny za reklamu. Pozn. po dotazu: Znamená to, že se zaplatí 1000 Kč paušál + 10000 za každou minutu.
Příklad 3. (6 bodů) Hodíme pravidelnou mincí a pravidelnou kostkou (tedy líc a rub padnou se stejnou pravděpodobností a každé ze šesti čísel padne se stejnou pravděpodobností). Náhodná veličina X udává počet líců na minci a náhodná veličina Y udává součet líců na minci a šestek na kostce (pozor, mincí i kostkou házíme jen jednou!). Pozn. po dotazu: X nabývá hodnot 0 (rub) a 1 (líc), Y nabývá hodnot 0 (ani líc, ani 6), 1 (líc, nebo 6) a 2 (líc i 6).
(a) Napište tabulku sdruženého pravděpodobnostního rozdělení náhodného vektoru (X,Y).
(b) Určete marginální rozdělení X a Y a rozhodněte, zda jsou C a Y nezávislé.
(c) Určete kovarianci X a Y.
Příklad 4. (4 body) V sadě je zasazeno 100 stejně starých keřů angreštu stejné odrůdy. Zkaždého z nich sklidíme 5 kg ovoce s rozptylem 1,44 kg<sup>2</sup>. Ve výkupu dostaneme 5 Kč za kilogram ovoce a za tyto peníze chceme koupit nový telefon. Jak drahý telefon si budeme moci koupit s pravděpodobností nejméně 0,9? (tedy, jaká je částka, kterou s pravděpodobností nejméně 0,9 získáme ve výkupu)?
Přiložena tabulka vybraných hodnot distribuční a kvantilové funkce normovaného normálního rozdělení.