[NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 12. 6. 2018

IMG_20180612_111045.jpg

Attachments:

• IMG_20180612_111045.jpg

Když se stejně učím na zkoušku, tak sem už rovnou mohu dát své řešení. Pravděpodobně tam budou hrubky.

1. a) 6/197/20+7/1913/20
   b) 1-1/(20C6)
   c) P[V_1=B|V_2=A] = (P[V_2=A|V_1=B]*P[V_1=B])/(P[V_2=A|V_1=B]*P[V_1=B]+P[V_2=A|V_1\ne B]*P[V_1\ne B])

2. a) Náhodná veličina je funkce z Omega do R. Rozdělení je funkce P taková, že P(-\infty,a) = P[x \le a], distribučí funkce F_X(a) = P[x \le a]
   b) Diskrétní náhodná veličina zobrazuje na body, které mají nenulovou pravděpodobnost, spojitá do množiny, která je intervalem na ose reálných čísel a každá hodnota má nulovou pravděpodobnost.
   c) Zprava spojitá, lim do -\infty je 0, lim do \infty je 1
   d) Rozdělení pravděpodobnosti je funkce, která každému izolovanému bodu přiřazuje jeho pravděpodobnost. Částečný součet od -\infty po a je pak distribuční funkce. Hustota (pro spojité náhodné veličiny) je funkce taková, že její integrál od -\infty po a je distribuční funkce.

3. a) P[X > 10] = 0.5, jelikož nebyly kladeny žádné požadavky na kvalitu. Rozumnější by byl odhad pomocí frekvence charakteristickou funkcí.
   b) P[X > 10] = 1/n * \chi(P[X>10]) je nestranný a konzistentní odhad
   c) Pomocí CLV: P[|avg X - EX| \le \sqrt{\sigma^2}{n} \quantile(1-\alpha/2)] -> 1-\alpha
   d) TODO

4. Úplná pravděpodobnost)
   Nechť (B_i) je disjunktní rozklad \Omega, pak P[A] = \sum P[A|B_i]*P[B_i] = \sum P[A, B_i] = P[A]
   Bayesova věta)
   Tu jsme použili už v 1.
   P[B_j|A] = P[A|B_j]*P[B_j]/\sum P[A|B_i]*P[B_i]
   Důkaz: P[B_j|A] = P[B_j, A]/P[A] = cíli (z úplné pravděpodobnosti)

5. a) 2
   b) P[X+Y = a] = \int f_X,Y[\alpha, a-\alpha] d\alpha = \int_0^a f_X[\alpha]*f_Y[a-\alpha] d\alpha = e^-a \int_0^a e^{-2\alpha} d\alpha

6. a) Nezávislé nejsou, neboť P[B-C=-1|A+B=2] = 0, ale každá část má nenulovou pravděpodobnost. Sdružené rozdělení je tabulka pravděpodobností 2x2, marginální jsou řadové/sloupcové součty.
   c) E(A+B)^2 = 1, E(B-C)^2 = 0, E((A+B)^2) = 1.5, E((B-C)^2) = 0.5, var(A+B) = var(B-C) = 0.5, cov(A+B, B-C) = 0.25, corr(A+B, B-C) = 0.5