[NMAI059] PaST - Zkouška - Hlubinka - 12. 2. 2018

Příklad 1 (7 bodů). Martina si hodí pravidelnou kostkou. Podle výsledku {: alt="K" type="image/"} si poté vezme {: alt="M" type="image/"} symetrických mincí, kde {: alt="M = 1" type="image/"} pokud {: alt="K \leq 3" type="image/"}, {: alt="M = 2" type="image/"} pokud {: alt="K \in \left \lbrace 4, 5 \right \rbrace" type="image/"} a {: alt="M = 3" type="image/"} pokud {: alt="K = 6" type="image/"}.
(a) Martina hodila M mincemu a sleduje, kolik líců jí padlo. Pomožte jí určit rozdělení počtu líců na všech mincích dohromady.
(b) Určete rozptyl počtu líců v této hře. Dále určete rozptyl součtu líců a rubů v této hře.
(c)* Po prvním hodu si Martina vezme tolik mincí, kolik jí padlo líců a opět hodí. Určete rozdělení počtu líců po druhém hodu. Nemá-li žadnou minci, kterou by hodila, pak je počet líců nula a hra skončí. Mohla by Martina takto hrát do nekonečna?

Příklad 2 (7 bodů).
(a) Vyslovte větu o pravděpodobnosti sjednocení (priuncip inkluze a exkluze).
(b) Dokažte tuto větu.
(c) V misce je nevyčerpatelné množství bonbonů osmi příchutí. Každý z šestnácti zákazníků si náhodně vybere jeden bonbon. S jakou pravděpodobností je každá příchuť vybrána alespoň jedním zákazníkem?
(d)* Dá se něco říci o případě, kdy máme {: alt="n" type="image/"} příchuití, {: alt="2n" type="image/"} zákazníků a {: alt="n \to \infty" type="image/"}?

Příklad 3 (6 bodů). Obchodník s lidskou závislostí vymyslel následující loterii. Každýá, kdo si koupí los za 100 Kč, může s pravděpodobností {: alt="9 \cdot 10^{-4}" type="image/"} vyhrát sto tisíc korun.
(a) Jaký je očekávaný zisk obchodníka, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(b) S jakou pravděpodobností bude zisk obchodníka nejméně 750 000 Kč, koupí-li si los sto tisíc nešťastníků?
(c) Kolik losů by měl obchodník prodat, aby s pravděpodobností alespoň 0,8 byl jeho zisk vyšší než dva miliony korun?
Použijte přibližné metody a zdůvodněte (!!!) svůj postup (ověřte podmínky použitých vět a tvrzení).

Příklad 4 (5 bodů). Doby jednotlivých výpočtů jsou nezávislé a stejně rozdělené náhodné veličiny s hustotou
{: alt="f(x)=a^2x\text{ exp}(-ax) \text{ pro }x \geq 0" type="image/"}, kde {: alt="a > 0" type="image/"} je nějaký neznámý parametr.
(a) Odhadněte parametr {: alt="a" type="image/"} metodou momentů.
(b) Rozhodněte, zda je tento odhad konzistentní. Svou odpověď řádně zdůvodněte.

Příklad 5 (6 bodů). Definujte kovarianci a korelaci.
(a) Vysvětlete, proč kovariance není vhodná míra závislosti {: alt="X" type="image/"} a {: alt="Y" type="image/"}, zatímco korelace ano.
(b) Napište co nejvíce vlastností korelace a kovariance. Jaký je vztah korelace a nezávislosti {: alt="X" type="image/"} a {: alt="Y" type="image/"}?
(c) Nechť {: alt="X" type="image/"} a {: alt="Y" type="image/"} jsou stejně rozdělené náhodné veličiny, ne nutně nezávislé. Určete {: alt="\text{corr}(X+Y, X-Y)" type="image/"}. Co z toho plyne?

Příklad 6 (5 bodů). Při přenosu signálu (kódování 0-1) se každý znak změní s pravděpodobností {: alt="p" type="image/"} na opačný nezávisle na ostatních znacích. Přenášíme {: alt="n" type="image/"} znaků a označme {: alt="S_n" type="image/"} počet znaků, které se přenosem změní.
(a) Buď {: alt="n" type="image/"} pevné. Odhadněte pravděpodobnost, se kterou {: alt="S_n" type="image/"} poděleno očekávaným počtem změněných znaků {: alt="ES_n" type="image/"} překročí {: alt="1 + \delta" type="image/"} pro nějaké kladné pevné {: alt="\delta" type="image/"}.
(b) Pro {: alt="n" type="image/"} jdoucí do nekonečna určete, jak rychle může {: alt="\delta _n" type="image/"} konvergovat k nule, aby pravděpodobnostz předchozího bodu konvergovala k nule.
Uvědomte si, že jde v podstatě o bernoulliovské pokusy, tedy o speciální případ poissonovských pokusů.

Poznámky: K úspěšnému napsání písemky je zapotřebí získat alespoň 20 bodů z celkových 36. Příklady označené hvězdičkou jsou bonusové a přispívají ke zlepšení známky.

Kalkulačky povoleny, časový limit 3 hodiny. Jako příloha tabulka hodnot distribuční a kvantilové funkce normovaného normálního rozdělení.

Když se stejně učím na zkoušku, tak sem už rovnou mohu dát své řešení. Pravděpodobně tam budou hrubky.

1. a) P[X=0] = 1/2 * 1/2 + 1/2^2 * 1/3 + 1/2^3 * 1/6, P[X=1] = 1/2 * 1/2 + 2*1/2^2 * 1/3 + 3 * 1/2^3 * 1/6, P[X=2] = 1/2^2 * 1/3 + 3 * 1/2^3 * 1/6, P[X=3] = 1/2^3 * 1/6
   b) TODO: chce to vyčíslit předchozí hodnoty
   c) Mohla. Stačí, když by padaly samé líce. P[X_2=k] = \sum_{i=0}^3 {i \choose k} 1/2^i P[X=i]

2. a) P[\bigcup A_i] = \sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|+1} P[\bigcap_{i \in I} A_i]
   b) Ve skriptech
   c) A_i značí, že i. druh nebyl vybrán, pak chceme 1 - P[\bigcup A_i] = 1 + \sum_{I \subseteq [8]} (-1)^{|I|} P[\bigcap_{i \in I} A_i] = 1 + \sum_1^8 (-1)^i {8 \choose i} ( (8-i)/8 )^16

3. a) 100000*(100-100000910^{-4}) = 1000000
   b)
   z CLV
   P[X_i = 100] = 1-910^{-4}, P[X_i = -100000] = 910^{-4}
   var X_i = 100^2 * 1-910^{-4} + 100000^2 * 910^{-4} - 1000000 ~ \sqrt{var X_i} \approx 2830
   P[\sum X_i \ge 750000] = P[ (\sum X_i - 1000000)/(2830*\sqrt{100000}) \ge -250000/894986] = 1- P[ ... < -0.2793339784] = 1-0.39 = 0.61
   c)
   obdobně z CLV, jen se použije kvantilová funkce

4. a) E[X] = 1/a, odhad a = 1/výběrový průměr X
   b) je konzistentní, ale není nestranný

5. a) Kovariace neškáluje
   b) Nezávislost implikuje nulovou korelaci

Vilda wrote:Když se stejně učím na zkoušku, tak sem už rovnou mohu dát své řešení. Pravděpodobně tam budou hrubky.

Čau.
0. Proč dáváš do příspěvků zdrojáky LaTeXu bez vyrenderovaní?
1.c) pokud "stačí aby padaly samet líce" tak to pak znamená že nemůže hrát donekonečna (pravděpodobnost, že se to stane je 0).
3. nerozumím co píšeš, co je Xi? No vyšlo mi to jinak.
4. Nevím jak jsi přišel na tu střední hodnotu (mi vyšla -2/a) a už vůbec ne na ty vlastnosti odhadu. To je určitě u zkoušky potřeba konkrétně spočítat/dokázat pomocí nějakých odhadů. (A u jiných zkoušek jak jsi psal řešení, tak to taky nemáš vysvětlené jak jsi k tomu došel.)
5. Toto je co?

Ahoj,

1. Nemířil jsem na kvalitní a stylisticky přívětivou odpověď. Jsou to jen mé výpočty, které by mohli někomu posloužit pro referenci. Promiň, pokud jsem tě tím namíchl. :)
   1.c) Není to 0, pouze to konverguje k 0, což si myslím, že je rozdíl. Možná se pletu.

2. X_i jsem myslel realizaci i-tého zákazníka (tj. náhodná proměnná s alternativním rozdělením).

3. Přehlédl jsem to a^2 a myslel si, že to je prosté exponenciální. Pak máš asi pravdu. :)

4. Kovariance je závislá na absolutních hodnotách proměnných, zatímco korelace ne. 5b je zřejmé.

Já myslím, že připomínka 0. byla spíš mířená na to, že když má fórum vestavěný {: alt="[latex]" type="image/"} tag, tak by bylo záhodno ho použít, když to práce přidá pramálo a čitelnost zlepší znatelně.
A příklad 3 máš špatně, jelikož když kupce vyhraje, X_i = -99900, ne -100000.

Vilda wrote:Promiň, pokud jsem tě tím namíchl.

Nene, jen jsem se divil, protožejsem se divil tomuto stylu zápisu (a pak jsem zjistil, že to ani není správně napsaný LaTeX), když to není určeno k renderování ale ke čtení člověkem, kde mi přijde přirozenější používat normální závorky a podobné jiné symboly více se vizuálně podobající tomu, co chce člověk vyjádřit. Ale tak to jsou prkotinky.

Vilda wrote:Není to 0.

Když to není 0, tak kolik to teda je? (Hint: je to 0 :wink: )
Posloupností všech možných výsledků je nekonečně, každá má pravděpodobnost 0. (Pokud by zrovna tahle měla nenulovou, tak to by bylo nějaké divné ne?) Můžeš mít např. nějaký pravděpodobnostní algoritmus, který nemá nějak omezenou délku běhu, ale pokud je pravděpodobnost, že poběží do nekonečna nulová, tak je to v poho.

Vilda wrote:5.

Jejda, přehlédl jsem otázku 5. a myslel si, že tohle má být odpověď na otázku 6. a nedávalo mi to smysl, promiň.

1c) Může, ale nastane to almost never (což je rigidní pojem, viz https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_su ... repeatedly)