Myslím, že mi v části 2 vypadla ještě jedna podotázka, taky nějaká početní, resp. určit, zda něco konverguje.
Jaké jsou limitní body této množiny? {: alt="X \subset \mathbb{R}^2; x = { (x, y); x \in {1, 2, 3, \ldots}, 0 < y < x-1 }" type="image/"}
a) Vysvětlete tři druhy konvergence posloupností a řad funkcí.
b) Rozhodněte, zda {: alt="f_n(x) = \frac{1}{nx}" type="image/"} konverguje rovnoměrně na {: alt="\mathbb{R} \setminus { 0 }" type="image/"}a) Uveďte výsledky o mocninných řadách.
b) Je tato řada na intervalu (0,1) rostoucí, klesající, nebo ani jedno? {: alt="\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2^n}x^n" type="image/"}Dokažte, že souvislé podmnožiny reálných čísel jsou právě intervaly.
Odpovědi:
1 Limitní jsou body z {: alt="\bar{X}" type="image/"}, tj. uzávěru X
2b) ne (dokazuje se podobně jako příklad {: alt="f_n(x) = x^n" type="image/"} z přednášky
3b) ověříme že poloměr konvergence je aspoň 1, pak můžeme upravit na součet geometrické řady, dostaneme že řada se rovná {: alt="\frac{x}{x+2}" type="image/"}