8.1.2019 2. zápočtový test Honzík

Dnešní test:
Původně bylo na vypracování 45 min, čas byl však mírně navýšen.

1. Najděte všechny póly a rezidua funkce
   $$f(z) = \frac{1}{(z^2+i)^2}$$
   a spočtěte $\int_\varphi f(z), dz$, kde$\varphi = i + e^{it}$pro$t \in [0,2\pi]$
   (10 bodů)

2. Pomocí integrace vhodné kontury spočtěte
   $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{(1+x^2)^2}\, dx$$
   (10 bodů)

3. Najděte Fourierovu řadu (v reálném tvaru) funkce
   $$f(x) = \cos \frac{x}{2}, \quad x \in [-\pi, +\pi]$$
   (10 bodů)

4. Najděte Fourierovu řadu (v reálném tvaru) funkce
   $$f(x) = \mathrm{e}^{|x|}, \quad x \in [-\pi, +\pi]$$
   (10 bodů)

Jak bude vypadat písemná zkouška?
Zkouška se bude skládat ze 4 početních příkladů, na jejichž řešení bude 1h a 30 minut. Může se objevit libovolná kombinace z následujících:

• Elementární funkce (viz příklad 1, 2 v 1. zápočtovém testu http://forum.matfyz.info/viewtopic.php?f=170&t=11832)

• C-R podmínky (zjistěte zda $f$ má derivaci, máme reálnou část funkce, doplňte imaginární,...)

• Mocninné řady (vyjádření $f$ řadou, ať už pomocí derivování nebo převedením na nějakou známou řadu)

• Vyšetření řady (poloměr konvergence, spočítat derivace)

• Reziduová věta (dostaneme křivku, najdeme póly a máme určit, které leží vně a uvnitř křivky)

• Konturová integrace $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{P(x)}, \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{P(x)}, \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{P(x)}$, kde $P(x)$ je libovolný polynom

• Integrál z definice $\int_\varphi f(z)\, dz$ (pomocí parametrizace, popř. Cauchyho vzorcem pro kruh)

• Fourierovy řady pouze příklady na výpočet Fourierovy řady v reálném tvaru (znát vzorce a umět per partes)