Dnešní test:
Původně bylo na vypracování 45 min, čas byl však mírně navýšen.
Najděte všechny póly a rezidua funkce
{: alt="f(z) = \frac{1}{(z^2+i)^2}" type="image/"}
a spočtěte {: alt="\int_\varphi f(z), dz" type="image/"}, kde {: alt="\varphi = i + e^{it}" type="image/"} pro {: alt="t \in [0,2\pi]" type="image/"}
(10 bodů)Pomocí integrace vhodné kontury spočtěte
{: alt="\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{(1+x^2)^2}, dx" type="image/"}
(10 bodů)Najděte Fourierovu řadu (v reálném tvaru) funkce
{: alt="f(x) = \cos \frac{x}{2}, \quad x \in [-\pi, +\pi]" type="image/"}
(10 bodů)Najděte Fourierovu řadu (v reálném tvaru) funkce
{: alt="f(x) = \mathrm{e}^{|x|}, \quad x \in [-\pi, +\pi]" type="image/"}
(10 bodů){: style="list-style-type:decimal"}
Jak bude vypadat písemná zkouška?
Zkouška se bude skládat ze 4 početních příkladů, na jejichž řešení bude 1h a 30 minut. Může se objevit libovolná kombinace z následujících:
Elementární funkce (viz příklad 1, 2 v 1. zápočtovém testu http://forum.matfyz.info/viewtopic.php?f=170&t=11832)
C-R podmínky (zjistěte zda {: alt="f" type="image/"} má derivaci, máme reálnou část funkce, doplňte imaginární,...)
Mocninné řady (vyjádření {: alt="f" type="image/"} řadou, ať už pomocí derivování nebo převedením na nějakou známou řadu)
Vyšetření řady (poloměr konvergence, spočítat derivace)
Reziduová věta (dostaneme křivku, najdeme póly a máme určit, které leží vně a uvnitř křivky)
Konturová integrace {: alt="\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{P(x)}, \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{P(x)}, \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{P(x)}" type="image/"}, kde {: alt="P(x)" type="image/"} je libovolný polynom
Integrál z definice {: alt="\int_\varphi f(z), dz" type="image/"} (pomocí parametrizace, popř. Cauchyho vzorcem pro kruh)
Fourierovy řady pouze příklady na výpočet Fourierovy řady v reálném tvaru (znát vzorce a umět per partes)