11.12.2018 1. zápočtový test Honzík

Na úvod bych si dovolil použít slova pana doktora Honzíka: "čtyři jednoduché příklady".
Na vypracování bylo 45 minut.

1. Najděte všechna $z \in \mathbb{C}$ splňující následující rovnost:
   $$\sin z = \frac{i}{2} \cdot \left(e - \frac{1}{e}\right)$$
   (10 bodů)

2. Sečtěte řadu
   $$\sum_{k=1}^{n} \sin\left((-1)^{k+1} \cdot kx\right)$$
   (10 bodů)

3. Určete poloměr konvergence řady
   $$f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{2^n +1}$$
   a najděte mocninné řady pro funkce $f'(z)$,$f''(z)$
   (10 bodů)

4. Určete všechny póly a rezidua funkce
   $$f(z) = \frac{z^2}{\left(z^2 + 1\right) \cdot \left(z^2 + 4\right)}$$
   poté pomocí integrace vhodné kontury spočtěte reálný integrál
   $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{\left(x^2 + 1\right) \cdot \left( x^2 + 4 \right)}\,dx$$
   (10 bodů)