Ahoj, prosím o pomoc s těmito otázkami, v tomto předmětu úplně plavu a vůbec ho nepobíram :( snažím se neco vyčíst na netu ale je to marný, prosím odpověď alespoň na něco. vřelé díky..
**Polynomy **
Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku.
Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí a0.
Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený.
Proč ke každým dvěma polynomům p, q (q nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně?
Nechť má polynom an = 1 a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné?
Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen?
Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájmeně různých kořenů?
Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n + 1 různých bodech?
**Lineární prostor **
9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + o = x, b) αo = o pro x libovolný prvek lineárního prostoru, o nulový prvek a α∈ R.
10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor.
11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkáchÿ tvoří LP.
12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností?
13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4?
14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod-prostorů nemusí být lineární podprostor.
**Lineární závislost, obal, báze **
15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru.
16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny?
17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci
f(x) = sin x, g(x) = x^2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé.
18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních.
19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina.
20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina.
21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů.
22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, jelineárně závislá.
23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ <M> právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací.
24. Dokažte <<M>> = <M> .
25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je <M> = M?
26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor?
27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M.
28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a z nenáleží <M>. Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá.
29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi.
30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M.
31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků.
32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů?
33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá?
34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když <M> = L.
35. Zdůvodněte, proč množina {1, x, x^2, x^3, . . .} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů.
36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x^2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně.
**Matice **
37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi?
38. Proč GEM nemění lineární obal řádků?
39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice.
40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z Rn eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti?
41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A2?
42. Dokažte asociativitu maticového násobení.
43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku.
44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice.
45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky?
46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor.
47. Proč je součin regulárních matic regulární?
48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice?
49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici.
50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. Proč?
51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte.
Determinant
52. Definice determinantu.
53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu.
54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu?
55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce.
56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice.
57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků.
**Soustavy lineárních rovnic **
58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz.
59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic.
60. Proč množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří lineární podprostor?
61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě?
62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu.
63. Nechť M = v+<u1, . . . ,uk> , M′=v' + <u′1, . . . ,u′k> . Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′.
64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč?
**Konečná dimenze **
65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic.
66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše n-tého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu?
67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru?
68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární?
69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů?