9.11.2017 1. zápočtový test Klimošová

1. (5 bodů) Posloupnost $\{x_n\}{n=0}^{\infty}$ je zadána následujícím předpisem: $x_0=2, x_1=3$ a $x_n = 6x{n-1} - 9x_{n-2}$ pro $n \ge 2$. Dokažte matematickou indukcí, že pro každé celé číslo $n \ge 0$ platí $x_n = 3^n (2-n)$.

2. (5 bodů) Určete infimum a supremum množiny $M$ a rozhodněte, zda je to minimum, respektive maximum. Svou odpověď patřičně zdůvodněte.
   $$M = \{ \frac{n}{n \cdot m}\,|\,n,m \in \mathbb{N} \}$$

3. (5 bodů) Určete limitu, nebo dokažte, že neexistuje:
   $$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sqrt{9 n^4-5 n^2+3 n}-3 n^2+\frac{n+2}{3 n-3^{-n}}\right)$$

4. (5 bodů) Určete limitu, nebo dokažte, že neexistuje:
   $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\frac{(n!)^2}{(2 n)!}$

K úspěšnému napsání je třeba získat 10 bodů z 20.