Matfyz Wiki

9.11.2017 1. zápočtový test Klimošová

awk at 2018-09-08 14:13:17

  1. (5 bodů) Posloupnost {x_n}_{n=0}^{\infty}{: alt="{x_n}{n=0}^{\infty}" type="image/"} je zadána následujícím předpisem: x_0=2, x_1=3{: alt="x_0=2, x_1=3" type="image/"} a x_n = 6x_{n-1} - 9x_{n-2}{: alt="x_n = 6x{n-1} - 9x_{n-2}" type="image/"} pro n \ge 2{: alt="n \ge 2" type="image/"}. Dokažte matematickou indukcí, že pro každé celé číslo n \ge 0{: alt="n \ge 0" type="image/"} platí x_n = 3^n (2-n){: alt="x_n = 3^n (2-n)" type="image/"}.

  2. (5 bodů) Určete infimum a supremum množiny M{: alt="M" type="image/"} a rozhodněte, zda je to minimum, respektive maximum. Svou odpověď patřičně zdůvodněte.
    M = { \frac{n}{n \cdot m},|,n,m \in \mathbb{N} }{: alt="M = { \frac{n}{n \cdot m},|,n,m \in \mathbb{N} }" type="image/"}

  3. (5 bodů) Určete limitu, nebo dokažte, že neexistuje:
    \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sqrt{9 n^4-5 n^2+3 n}-3 n^2+\frac{n+2}{3 n-3^{-n}}\right){: alt="\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sqrt{9 n^4-5 n^2+3 n}-3 n^2+\frac{n+2}{3 n-3^{-n}}\right)" type="image/"}

  4. (5 bodů) Určete limitu, nebo dokažte, že neexistuje:
    \underset{n\to \infty }{\text{lim}}\frac{(n!)^2}{(2 n)!}{: alt="\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\frac{(n!)^2}{(2 n)!}" type="image/"}{: style="list-style-type:decimal"}

K úspěšnému napsání je třeba získat 10 bodů z 20.