Hlávka, Zdeněk – zkouška 14. 6. 2019

Otázky:

1. Určete c tak, aby $f(x) = c(1-x)^2$ byla hustota na $[0; 1]$; nakreslete hustotu.

2. Určete střední hodnotu pravděpodobnostního rozdělení určeného hustotou v předchozí úloze a nalezněte i distribuční funkci tohoto rozdělení.

3. MLE odhad parametru $\theta$ rozdělení $X$ s hustotou $f(x) = \theta^{-2} \cdot \exp (-x\cdot\theta^{-2})$.

4. Určit $\mathrm{E}X$ pro $X$ z předchozí úlohy a udělat odhad $\theta$ momentovou metodou.

5. V muzeu leží 14 byzantských mincí pocházejících ze dvou různých období. Obsah stříbra v těchto mincích je naměřen v následující tabulce:

• období 1: | 5.3 | 5.6 | 5.5 | 5.1 | 5.2 | 5.8 | 5.8 |
  období 2: | 6.9 | 9.0 | 6.6 | 8.1 | 9.3 | 9.2 | 8.6 |

Zvolte vhodný test a rozhodněte, jestli je průměrný obsah stříbra v obou obdobích stejný. Jak byste ověřili předpoklady použitého testu?

• Dvouvýběrový t-test s deltou nulovou, sice máme testování byzantských mincí ze dvou období, ale jsou to jiné mince a jiná období a navíc není zřejmé, jak dvojice měření spárovat, proto nemůžeme použít párový t-test.

Já idiot nebyl schopen řádně dosazovat do vzorce v 5), takže mi chtěl dát dvojku, ale na jedničku se mě ještě zeptal, jak odhadnout $\theta$ v 3) – 4) na základě CLV ($\mu, \sigma$ získáme z teoretického vzorce pro hustotu rozdělení a ty závisí na $\theta$).

Jinak na učení věcí kolem více rozměrů a lineární regrese pro ty, co se moc nesetkali s infinitezimálním počtem nad maticemi, je možné jako dobrou referenci použít https://atmos.washington.edu/~dennis/MatrixCalculus.pdf (stačí kapitola 5, Matrix Differentiation).