Úvod

Tuhé těleso - nedeformovatelná soustava hmotných bodů, které mají vůči sobě pevné vzdálenosti.

Tuhé těleso má $6$ stupňů volnosti - $3$ rotační a $3$ translační.

Popis rotace:

Zavedeme 2 ortonormální báze: referenční (pevná v prostoru) $(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)$

a korotující (pevně spojená s tělesem) $(\vec e^*_1,\vec e^*_2,\vec e^*_3)$.

Natočení tělesa je pak popsáno ortogonální maticí $A$:

$$\vec e^*_i = A_{ik} \vec e_k \, .$$

Matice $A$ je závislá na čase, splňuje relace ortogonality.

Vzpomeňte si na názorný příklad doc. Podolského: kolotoč s koníčkem a slepičkou a opodál stojící Hanka.

Zavedení vektoru úhlové rychlosti

Uvažujme libovolný časově závislý vektor $\vec w(t)$,

$\vec w(t) = w_i(t)\vec e_i = w^*_i(t)\vec e^*_i(t)$,

přičemž $\vec e^*_i(t) = A_{ik}(t)\vec e_k$.

Pak $(\frac {d\vec w}{dt})_{prostor} =$

• $\frac{dw_i}{dt}\vec e_i$ (nahlíženo Hankou)

• $\frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w^*_i \frac{d\vec e^*_i}{dt} = \frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w_i\frac{dA_{ik}}{dt}A_{jk}\vec e^*_j.$ (nahlíženo slepičkou)

Přeznačíme index i na l a j na i a dostaneme, že

$\frac{dA_{lk}}{dt}A_{ik} = \Omega^*_{li}.$

Úhlová rychlost $\Omega$ je antisymetrická (má 3 nezávislé složky a lze s ní asociovat duální pseudovektor).

$\Omega = \frac{dA}{dt}A^T$

Bez ohledu na zvolenou bázi platí vztah

$(\frac{d\vec w}{dt})_{prostor(Hanka)} =(\frac{d\vec w}{dt})_{teleso(kolotoc)} + \vec \Omega \times \vec w$

Eulerovy úhly

Libovolné otočení kolem bodu (těžiště) lze získat 3 po sobě jdoucími otočeními kolem nějaké osy. Zavádíme tzv. Eulerovy úhly. Vezmeme dvě báze: referenční $\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3$ a korotující $\vec x^*_1,\vec x^*_2,\vec x^*_3$. Jejich vzájemná poloha je určena těmito úhly:

• precesní úhel $\ \phi$ z $<0,2\pi>$ - nula odpovídá ose $\vec x_1$, úhel leží v rovině $\{\vec x_1,\vec x_2\}$, kladná orientace ve směru osy $\vec x_2$; měříme úhel, který svírá osa $\vec x_1$ s přímkou $\vec n$, která vznikne protnutím roviny $\{\vec x_1,\vec x_2 \}$ a roviny $\{\vec x^*_1,\vec x^*_2 \}$

• nutační úhel $\ \theta$ z $<0,\pi>$ - nula odpovídá ose $\vec x_3$, kladná orientace směrem k rovině $\{\vec x_1,\vec x_2 \}$, měníme úhel mezi osou $\vec x_3$ a $\vec x^*_3$

• rotační úhel $\ \psi$ z $<0,2\pi>$ - nula je v rovině $\{\vec x_1,\vec x_2\}$, kladná orientace směrem k ose $\vec x_3$, měníme úhel mezi přímkou $\vec n$ a osou $\vec x^*_1$.

Jedná se tedy o 3 otočení a vzájemná poloha pevné a korotující báze je pak určena součinem matic těchto otočení.

Eulerovy kinematické rovnice

Pomocí Eulerových úhlů můžeme vyjádřit vektor úhlové rychlosti, výsledek se nazývá Eulerovy kinetické rovnice.

$\Omega_x = \dot \phi \sin\theta \sin\psi + \dot \theta \cos\psi \, ,$

$\Omega_y = \dot \phi \sin\theta \cos\psi - \dot \theta \sin\psi \, ,$

$\Omega_z = \dot \phi \cos\theta + \dot \psi \, .$

Tenzor setrvačnosti

Tenzor setrvačnosti je symetrický tenzor 2. řádu (bilineární funkce nezávisí na pořadí vektorů), lze tedy diagonalizovat. Hlavní osy tenzoru setrvačnosti dostaneme, když budeme v bázi vlastních vektorů.

Přes vektory

Vyjdeme z celkového momentu hybnosti $\vec L$ tuhého tělesa

$\vec L = \sum_{a} \vec r^a \times \vec p^a = \sum_{a} m^a \vec r^a \times \vec v^a$,

kde sčítáme přes všechny hmotné body tuhého tělesa.

$\vec L = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a)$

Zvolme libovolný vektor $\vec \xi$ a udělejme průmět pomocí skalárního součinu

$\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a) \cdot \vec \xi$.

Můžeme udělat cyklickou záměnu a dostaneme

$\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a (\vec \xi \times \vec r^a ) \cdot (\vec \Omega \times \vec r^a ) = I (\vec \xi, \vec \Omega)$.

Přes složky

Uvažujme těleso s rotační energií

$T_{rot}=\frac{1}{2}\sum_{a} m_a \dot{\vec{r}}_a ^2 = \frac{1}{2}\sum_{a} m_a \left( \vec{\Omega} \times \vec{r}_a \right)^2$. $\qquad \left(\star\right)$

Dále užijeme

$\left( \vec \Omega \times \vec r_a \right)^2 = \vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 - \left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2$ ... platí, protože třeba $\sin ^2 = 1 - \cos ^2$.

Rozepíšeme složky vektorů $\vec \Omega = \Omega_i \vec e_i$ a $(\vec r_a)_i = (\vec r_a)_i \vec e_i.$

Potom je

$\left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2 = \Omega_i \Omega_j (r_a)_i (r_a)_j$

a

$\vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 = \Omega_i \Omega_j \vec e_i \vec e_j \cdot (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \vec e_i \vec e_j = \Omega_i \Omega_j \delta_{ij} \cdot \left(\vec r_a \right)^2$.

Tedy dohromady je

$\left( \vec \Omega \times \vec r_a \right)^2 = \left[ (\vec r_a)^2 \delta_{ij} - (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \right]\Omega_i \Omega_j$.

Tenzorem setrvačnosti nazvěme člen z $\left(\star\right)$

$I_{ij} = \sum_a m_a \left[ (\vec r_a)^2 \delta_{ij} - (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \right]$. $\qquad\left(\heartsuit\right)$

tak abychom kinetickou energii získali jako

$T_{rot}=\frac{1}{2} I_{ij}\Omega_i \Omega_j$.

...Tak jest pro diskrétní body.

Pro masiv přepíšeme $\left(\heartsuit\right)$ do řeči integrálů intuitivně $I_{ij} = \iiint \mathrm{d} \vec r \rho(\vec r) \left[ (\vec r)^2 \delta_{ij} - r_i r_j \right]$.

Eulerovy dynamické rovnice

Vyjdeme z 2. věty impulsové (referenční báze):

$$\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm Hanka} = \left(\vec M \right)_{\rm Hanka}.$$

Pak zvolíme korotující bázi hlavních os tenzoru setrvačnosti

$$\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm kolotoc} + \vec \Omega \times \vec L = \vec M$$

a dostaneme Eulerovy dynamické rovnice:

$$I_1 \dot \Omega_x - (I_2 - I_3) \Omega_y \Omega_z = M_x \, ,$$

$$I_2 \dot \Omega_y - (I_3 - I_1) \Omega_z \Omega_x = M_y \, ,$$

$$I_3 \dot \Omega_z - (I_1 - I_2) \Omega_x \Omega_y = M_z \, .$$

Zde jsme použili vztah pro moment hybnosti $L_i = I_{ij} \Omega_j$ v korotující bázi.

Setrvačníky

Tuhé těleso, které má pevný bod, nazýváme setrvačníkem. Pokud má těleso navíc osu souměrnosti rozložení hmotnosti (se kterou ztotožňujeme osu $\vec e^*_3$), platí navíc $I_1^{}= I_2$ a setrvačník je symetrický.

Pokud vyšetřujeme pohyb bezmomentového symetrického setrvačníku, můžeme řešit Eulerovy dynamické rovnice s momenty sil rovnými nule a s podmínkou $I_1^{} = I_2$. Dostaneme

$\psi = \frac{K}{sin\theta_0} t + \psi_0$

$\ \theta = \theta_0$

$\ \phi = \Omega_0 t + \delta$

Osa souměrnosti setrvačníku se otáčí úhlovou rychlostí $\dot \psi = \frac{K}{sin\theta_0}$ kolem konstantního směru momentu hybnosti $\vec L$. Tento kužel pevný v prostoru, jehož osu tvoří vektor momentu hybnosti $\vec L$ a povrch osa symetrie setrvačníku, nazýváme notačním kuželem. Při pohybu osy souměrnosti setrvačníku po notačním kuželi hovoříme o precesi. Při změně Eulerova úhlu $\theta$ hovoříme o nutaci.

Na druhou stranu, chceme-li popsat pohyb těžkého symetrického setrvačníku (tj. tuhého tělesa otáčejícího se v tíhovém poli Země), je lepší použít Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Lagrangián bude mít tvar ( $\vec G$ je tíha tělesa, $\vec r_S$ poloha hmotného středu)

$\vec L = \frac{1}{2} (I_1 (\Omega_1^2 + \Omega_2^2) + I_3\Omega_3^2) + \vec G \cdot \vec r_S$.

Řešení nelze obecně vyjádřit pomocí elementárních funkcí, jen ve tvaru eliptických integrálů. Lze však provést kvalitativní diskusi. Řešení můžeme dobře znázornit, když kolem bodu upevnění setrvačníků opíšeme kulovou plochu a na ní vyznačíme její průsečík s osou souměrnosti. Průsečík se vždy pohybuje po pásu na kulové ploše. Můžeme rozlišit 3 případy v závislosti na $\dot \psi$:

• a) $\dot \psi$ > 0 - průsečík tvoří vlnky,

• b) $\dot \psi$ = 0 - průsečík tvoří "spojená U" (obrazec mezi vlnkou a smyčkou).

• c) $\dot \psi$ < 0 - průsečík tvoří smyčky,

Státní závěrečná zkouška

Links

• Poznámky k přednášce doc. Podolského: Tuhé těleso