Pokus o sepsání a vysvětlení pojmů z logiky - především podle cvičení Jana Hrice. Upravujte dle libosti. Též diskutujte na diskusní stránce (nahoře discussion). Může být velmi nepřesné, mělo by sloužit pro intuitivní pochopení :-) Za správnost se zde neručí.

Celé to vlastně dobře pokrývají Štěpánkova skripta - velmi čtivé popsání základních definic. Takže tahle stránka je dost zbytečná...

  • jazyk L - množina konstant, relačních symbolů, funkčních symbolů a predikátových symbolů

  • L-formule - formule v jazyce L

    • uzávěr formule φ\varphi kde x1,…,xnx_1,\ldots ,x_n jsou její volné proměnné je formule ∀x1,…,∀xn(φ)\forall x_1,\ldots ,\forall x_n(\varphi)

  • L-Teorie - množina axiomů v jazyce L

    • sporná/bezesporná - všechny formule jsou dokazatelné - jde dokázat spor/opak

    • úplná - bezesporná a v jazyce L je dokazatelná každá formule nebo její komplement (negace)

    • kompletní - má právě jeden model

    • k-kategorická - má právě jeden model kardinality k (ω\omega-kategorická - má jeden nekonečný model)

    • ektivalentní teorie - jsou teorie, které jsou extenze jedna druhé

    • henkinovská - množina D henkinovských konstant T je množina konstant z T takových, že pro každou L-formuli φ\varphis jednou volnou proměnnou existuje konstantní symbol d z D tak, že ∃xφ→φ(x/d)\exists x\varphi\rightarrow \varphi(x/d) je v T dokazatelná, henkinovská teorie je pak teorie jejíž konstantní symboly tvoří množinu henkinovských konstant této teorie

    • formule a T

      • dokazatelná v T - existuje důkaz (posloupnost formulí tvořených formulemi z T, axiomy a pravidlem modus ponens) formule

      • vyvratitelná v T - negace je dokazatelná

      • nezávislá v T- je dokazatelná ale je dokazatelná i její negace

      • konzistentní v T- negace není dokazatelná

  • Fm - množina formulí

  • struktura - interpretace jazyka (univerzum, relace, funkce, predikáty)

    • kanonická

      • pro L bez rovnosti je to struktura to je struktura obsahující pouze konstantní funkce a relace na nich ??

      • pro L s rovností se musí dodefinovat relace ekvivalence a pak je to struktura s termy faktorizovanými touto relací

  • model(D) - struktura jazyka L taková, že všechny formule z množiny D jsou pravdivé, např. ohodnocení proměnných (u výrokové logiky)

  • Thm(T) - množina všech dokazatelných formulí nad teorií

  • axiomatika - množina formulí neobsahující logické axtiomy (mimologické axiomy)

  • axiomatizovatelná teorie - je ekvivalentní nějaké axiomatice

    • konečně axiomatizovatelná teorie - ekvivalentní konečné axiomatice

  • rozšíření/extenze jazyka a teorie * maximální * bezesporná - nevytvoříme spornou teorii * jednoduchá - nerozšiřujeme jazyk * konzervativní - všechno co platilo, platí i potom * jazyka L→L′L \rightarrow L' - přidání symbolů do jazyka (funkčních i/nebo relačních) * teorie T→T′T \rightarrow T' - přidáme axiom(y) do teorií :: potom platí: T⊆T′T \subseteq T' :: Thm(T)⊆Thm(T′)Thm(T) \subseteq Thm(T') :: M(T,φ)⊇M(T′,φ)M(T, \varphi ) \supseteq M(T', \varphi )

  • zkratka M(T,φ)==M(T∪φ)M(T, \varphi) == M(T \cup {\varphi} )

  • Delo - teorie hustých uspořádání

    • lineární uspořádání ∀x,yx≤y∨y x\forall x,y x \leq y \lor y\ x

    • druhý směr není v jazyce '>=' .. je třeba definovat x>=y := y<=x

    • diskrétní

---- <!-- další cviko -->

  • term

  • konstatní designátory (?)

    • designátor - nositel významu = výraz

    • desginát - význam (jeden konkrétní) výrazu

  • herbrandovo universum

    • A=s1,0\mathcal{A} = {s^1, 0} ... 0, s0, ss0, sss0, ...

    • A=+2,0\mathcal{A} = {+^2, 0} ... 0; 0+0; 0+(0+0), (0+0)+0, (0+0)+(0+0);

  • faktorizace - (značí se x/~) x rozseká pomocí ~ (rovnítka) do tříd ekvivalence

  • robinsonova aritmetika

    • konstatní symbol: nula 0 a funkční symbol s aritou 1: následník s(x) :: (Q1) 0+x = x :: (Q4) 0+s0 = s(0+0)

    • za použití výše uvedených pravidel platí: 0 + ss0 = s(0+s0) + ss(0+0) = ss(0)

---- <!-- další cviko -->

  • aritmetizace -

  • funkce je rekurzivní - lze je zapsat dajú sa naprogramovať a sú všade definované (pozri Vyčíslitelnost I)

  • relace definuje podmnožinu R⊆NkR \subseteq N^k, tam kde charakteristická funkce f(R) = 1 --> relace i char.fce jsou to samé, obě též rekurzivní

Zdroj: Logika pro právníky - slovníček