Kramersovy–Kronigovy relace umožňují spočítat reálnou část odezvy lineárního pasivního systému, známe-li imaginární části odezvy při všech frekvencích (nebo naopak určit imaginární část ze znalosti části reálné). Při analýze optických konstant hrají důležitou roli a jsou hojně využívány, protože platí např. pro elektrickou vodivost σ (vystupující v ohmově zákoně j(ω)=σ(ω)E(ω) ). Abychom mohli Kramers–Kronigovu analýzu provést, musí funkce odezvy α(ω)=α₁(ω)+iα₂(ω) splňovat:

1. Póly α(ω) jsou všechny nad reálnou osou

2. Při integraci přes nekonečně velkou polokružnici v horní polorovině komplexní roviny, je integrál z α(ω)/ω roven nule

3. Pro $\omega$$\in$$\mathbb{R}$ je α₁(ω) sudá a α₂(ω) lichá

Potom platí:

:$\alpha$₁(ω) = 2/π VP ∫₀^∞ s α₂(s) / (s² - ω²)ds.

a

:α₂(ω) = -2/π VP ∫₀^∞ ω α₁(s) / (s² - ω²) ds = - 2ω/π VP ∫₀^∞ α₁(s) / (s² - ω²)ds.

P značí hlavní hodnotu integrálu.

Důkaz

Budeme integrovat po křivce znázorněné v http://en.wikipedia.org/wiki/Kramers–Kronig_relations#Derivation.

Protože uvnitř oblasti ohraničené integrační křivkou nejsou žádné póly, je integrál po této křivce z funkce α(s)/(s-ω) roven nule.

Protože funkce odezvy α klesá u nekonečen dostatečně rychle, je integrál přes velkou polokružnici roven nule.

Zbývá tedy rovnost ∫_-∞^ω + ∫_{polokružnice kolem ω} + ∫_ω^∞ = 0. Sem dosadíme vyjádření Reziduové věty nebo Cauchyovy věty (možná se ta věta jmenuje po někom úplně jiném). Ta věta, kterou chci využít, říká, že když integruji po části kružnice kolem pólu, tak výsledek je ∫_{polokružnice kolem ω} f(s) ds = πi Res(f).

:: Pozor! Právě zapsaný výsledek platí, pokud integruji v kladném směru, což je PROTI směru hodinových ručiček. Když si představíte průběh funkce e^ix, tak pro x stoupající máte "kladný směr obíhání" - a ten je proti směru hodinových ručiček.

Vzpomeneme na výpočet reziduí: http://cs.wikipedia.org/wiki/Reziduum#V.C3.BDpo.C4.8Det_rezidu.C3.AD . Naše zkoumaná funkce, kterou integrujeme, je α(s)/(s-ω), proto reziduum je α(ω). Máme tedy rovnici

:∫_-∞^ω - πiα(ω) + ∫_ω^∞ = 0 Nakonec tedy:

:α(ω) = 1/πi VP ∫_-∞^∞ α(s)/(s-ω)ds. Tuto rovnost si napíšeme zvlášť pro reálnou a pro imaginární část:

:α₁(ω) = Re{1/πi VP ∫_-∞^∞ [α₁(s) + iα₂(s)]/(s-ω)ds} = 1/πi VP ∫_-∞^∞ iα₂(s)/(s-ω)ds = 1/π VP ∫_-∞^∞ α₂(s)/(s-ω)ds. :α₂(ω) = Im{1/πi VP ∫_-∞^∞ [α₁(s) + iα₂(s)]/(s-ω)ds} = Im{-i/π VP ∫_-∞^∞ [α₁(s) + iα₂(s)]/(s-ω)ds} = -1/π Re{VP ∫_-∞^∞ [α₁(s) + iα₂(s)]/(s-ω)ds} = -1/π VP ∫_-∞^∞ α₁(s)/(s-ω)ds.

Nakonec je nutné integrály přes záporné frekvence převést na integrály přes kladné frekvence. Při tom využijeme předpokladů (α₁ sudá a α₂ lichá). Převádíme tedy (t=-s, dt = -ds):

:∫_-∞⁰ α₂(s)/(s-ω)ds = ∫_∞⁰ α₂(-t)/(-t-ω)-dt = ∫₀^∞ -α₂(t)/(-t-ω)dt = ∫₀^∞ α₂(t)/(t+ω)dt a :∫_-∞⁰ α₁(s)/(s-ω)ds = ∫_∞⁰ α₁(-t)/(-t-ω)-dt = ∫₀^∞ α₁(t)/(-t-ω)dt = -∫₀^∞ α₁(t)/(t+ω)dt.

Nyní mám tedy:

:α₁(ω) = 1/π [∫₀^∞ α₂(t)/(t+ω)dt + VP ∫₀^∞ α₂(s)/(s-ω)ds] a :α₂(ω) = -1/π [-∫₀^∞ α₁(t)/(t+ω)dt' + VP ∫_-∞^∞ α₁(s)/(s-ω)ds].

Protože všechny integrály jsou od nuly do nekonečna, sloučím je. Budu tedy vždy integrovat součet dvou zlomků - dám je na společného jmenovatele:

• při výpočtu α₁(ω) budu integrovat α₂(s)/(s+ω) + α₂(s)/(s-ω) = [(s-ω)α₂(s) + (s+ω)α₂(s)] / (s+ω)(s-ω) = 2sα₂(s) / (s² - ω²),

• při výpočtu α₂(ω) budu integrovat -α₁(s)/(s+ω) + α₁(s)/(s-ω) = [-(s-ω)α₁(s) + (s+ω)α₁(s)] / (s+ω)(s-ω) = 2ωα₁(s) / (s² - ω²).

Využití pro odrazivost

Použijeme Kramersovy-Kronigovy relace pro amplitudovou odrazivost r(ω). Protože intenzitní odrazivostní koeficient je *R(ω)=r(ω)r(ω)**, dostáváme :ln(r(ω)) = ln[R^1/2(ω)] +iθ(ω) (zde je krásně zřetelné rozdělení ne reálnou a imaginární část).

Nyní můžeme vypočítat fázi amplitudové odrazivosti: :θ(ω) = - ω/π VP ∫₀^∞ ln[R(s)] / (s² - ω²) ds = -ω/π VP ∫₀^∞ ln[R(s)] × 1/(s² - ω²) ds.

Využijeme integrování per partes: logaritmus zderivujeme, podíl 1/(s²-ω²) zintegrujeme a otočíme znaménko před integrálem. Integrál podílu je :∫1 / (s² - ω²) ds = ∫ 1/2ω / (s-ω) - 1/2ω / (s+ω) ds = 1/2ω [ln(s-ω) - ln(s+ω)] = 1/2ω ln[(s-ω)/(s+ω)].

Dostáváme tedy: :θ(ω) = + ω/π VP ∫₀^∞ dln[R(s)]/ds × {1/2ω ln[(s-ω)/(s+ω)]} ds = 1/2π VP ∫₀^∞ dln[R(s)]/ds ln[(s-ω)/(s+ω)] ds.

Spektrální oblasti, ve kterých je odrazivost konstantní, k integrálu nepřispívají. Navíc ani neřispívají příliš oblasti s≫ω a s≪ω, protože tam je hodnota funkce ln[(s-ω)/(s+ω)] malá.