Úvod

• Brownův pohyb = náhodný pohyb částic rozptýlených v kapalině či matematický model popisující náhodné pohyby

• matematický model má mnoho aplikací - například fluktuace na burze akcií

• nejjednodušší ze stochastických (náhodných) procesů - limit náhodné procházky a Donskerova teorému, univerzálnost \sim univerzalitě normálního

rozdělení

• Einstein (1905) a Smoluchowski (1906) - řešení Brownova pohybu k potvrzení existence atomů a molekul -> že Brownův pohyb v médiu v TD teplotě T je charakterizován difuzním koeficientem: $D=\frac{k_{B}T}{b}$, (kde b - odporový součinitel) a kvadratická výchylka částice v libovolném směru je \sqrt

{2Dt}

• experimenty -> výchylky 4-6x větší než předpověď

• Einstein - že pohyb předpovězen z kinetickéh modelu tepelné rovnováhy -> potvrdilo to, že vysvětlení 2VTD pomocí kinetické teorie je základní statistický

zákon

Experimenty

• Gouy zjistil:

  • pohyb nepravidelný, translace a rotace -> Wiener 1923, že body Brown.trajektorie všude spojité

  • 2 částice se zdají pohybovat nezávisle i když se přiblíží víc než na svůj průměr

  • menší částice -> aktivnější

  • složení a hustota částic nemá efekt na pohyb

  • méně viskozní kapaliny -> aktivnější

  • vyšší teplota -> aktivnější

  • pohyb se nikdy nezastaví

1.vysvětlení

• zákon zachování hybnosti při kolizi atomů $\frac{1}{2}m<v^2>=\frac{3}{2}{k}_{B}T$ - makroskopické částice (typicky $10^{-}6$) M, V a oklní částice m, v -> srážkou

se změní $\Delta$ v -> změna $\frac{m}{M}V$

• -> pozorovaný pohyb o 2 řády větší

• -> že jako obří atom $\frac{1}{2}M<\dot{s^2}>=\frac{3}{2}{k}_{B}T$ -> moc velká rychlost vůči pozorvané - neboť ekvipartiční teorém jen když čas mezi pozorováními $\sim$ času mezi kolizemi

Einstein

• 1905

• náhodná procházka + Maxwell-Boltzmanovo rozdělení -> částice v kapalině když dostane úder díky srážce s molekulou -> změní se její rychlost, ale u viskozní kapaliny tak se rychlost rychle disipuje a celkovým výsledkem srážky je výchylka částice -> kumulativním efektem jsou náhodné skoky v pozici - vzal jako malé -> diferenciální rovnice

• že střední kvadratická výchylka se zvětšuje lineárně s časem

• že v rovnováze Maxwellovské rozdělení rychlostí -> konstannty v řešení jako funkci T a viskozity

• experimentálně potvrzeno 1908

Fokker-Planckova rovnice = Smoluchowskiho rovnice

• Odvození:

  • f Brownovských částic na 1V (=reprezentativní body realizace náhodné veličiny popisující Brownův pohyb) rozptýlených v kapalině v $r+r+dr$ v čase t a jsou vystaveny vnější síle $K=-gradU(r)$, U- potenciál

  • díky vlivu $K$ přechází v objemu $\nu$ s hranicí S driftový proud částic S (Gaussova věta):

    ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲}{\part t} \int…

  • • rovnice kontinuity:

      ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part t}+ di…

      = zákon zachování reprezentativních bodů -> driftový proud $J_d-f{v}_d$, $v_d$ - driftová rychlost částice

  • • předpoklad $K-\xi v_d=0$ -> $J_d=f\frac{k}{\xi }=-\left(\frac{f}{\xi }\right)gradV$ => $J_d=-\left(\frac{f}{\xi }\right)gradV$, kde $\xi$ - odporový součinitel částice, $\xi v_d$ - odpor viskozity

  • • tepelný pohyb částice - difuzní člen $J_{diff}=-Dgradf$, $D=\frac{kT}{\xi }$ - koeficient difuze

  • =>dosazení do rovnice kontinuity -> Smoluchowskiho rovnice:

    ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part t}= D …

    - popisuje vývoj f v konfiguračním prostoru, říká, že rozdělení rychlostí dosáhne statistické rovnováhy což je Maxwellovské rozdělení

• Klein - Kramersova rovnice:

  ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part t}+ \v…

  - popisuje evoluci hustoty $f(r,v,t)$ reprezentativních bodů ve fázovém prostoru $(r,v)$

Odvození střední kvadratické výchylky částic, Difuze ve vnějším poli

• z Langevinovy rovnice (viz. otázka Langevinova rovnice)

• Einstein

  • -> každá individuální částice se pohybuje nezávisle na ostatních

  • -> pohyb částice v jednom konkrétním okamžiku je nezávislý na pohybu částice v jiném okamžiku, je-li časový interval dost dlouhý

  • vezme dost dlouhý časový interval $\tau$ (aby nezávislé na pohybu v čase t+ $\tau$) , ale malý vůči době mezi pozorováními

  • ....-> střední kvadratická výchylka: $\sqrt{\overline{x^2}}=\sqrt{2Dt}$

  • ->

    ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 12: \tau \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part x^2}= …

    a $D=\frac{1}{2\tau }\overline{{\Delta }^2}$ (D-translační difuzní koeficient) =>

    ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part t}=D \…

    =difuzní rovnice v 1D pro malá $\Delta$ - řešením - že všechny částice na začátku blízko sebe (x=0, t=0)

  • řešení difuzní rovnice: $f(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\Pi Dt}}{e}^{\frac{-x^2}{4Dt}},\infty <x<\infty$

  • střední kvadratická výchylka částice v x směru: $\sqrt{\overline{x^2}}=\sqrt{2Dt}$ a $\overline{r^2}=\overline{3x^2}$

• difuzní koeficient D: částice jsou v poli síly $K(x)$ (např.gravitační pole), Maxwell-Boltzmanovské rozdělení poloh částic $f=f_0{e}^{\frac{-V}{kT}}$

Aplikace teorie Brownova pohybu v potenciálu

• VA charakteristiky Josephsonova přechodu

• dielektrická a Kerr-effect relaxace v kapalinách a v molekulárních a nematických kapalných krystalech

• pohyblivost superionizovaných vodičů

• šířky čar v NMR

• nekoherentní rozptyl pomalých neutronů

• termalizace $n^0$ v moderátoru z těžkého plynu

• únik částic přes potenciálové bariéry

• magnetická relaxace feromagnetické částice s 1 doménou (superparamagnetismus)

• dynamika polymerů

Rovnice difuze