Úvod
Brownův pohyb = náhodný pohyb částic rozptýlených v kapalině či matematický model popisující náhodné pohyby
matematický model má mnoho aplikací - například fluktuace na burze akcií
nejjednodušší ze stochastických (náhodných) procesů - limit náhodné procházky a Donskerova teorému, univerzálnost \sim univerzalitě normálního
rozdělení
Einstein (1905) a Smoluchowski (1906) - řešení Brownova pohybu k potvrzení existence atomů a molekul -> že Brownův pohyb v médiu v TD teplotě T je charakterizován difuzním koeficientem:
D=\frac{k_B T}{b}
, (kde b - odporový součinitel) a kvadratická výchylka částice v libovolném směru je \sqrt
{2Dt}
experimenty -> výchylky 4-6x větší než předpověď
Einstein - že pohyb předpovězen z kinetickéh modelu tepelné rovnováhy -> potvrdilo to, že vysvětlení 2VTD pomocí kinetické teorie je základní statistický
zákon
Experimenty
Gouy zjistil:
pohyb nepravidelný, translace a rotace -> Wiener 1923, že body Brown.trajektorie všude spojité
2 částice se zdají pohybovat nezávisle i když se přiblíží víc než na svůj průměr
menší částice -> aktivnější
složení a hustota částic nemá efekt na pohyb
méně viskozní kapaliny -> aktivnější
vyšší teplota -> aktivnější
pohyb se nikdy nezastaví
1.vysvětlení
zákon zachování hybnosti při kolizi atomů
\frac{1}{2}m <v^2>=\frac{3}{2}k_B T
- makroskopické částice (typicky10^-6
) M, V a oklní částice m, v -> srážkou
se změní \Delta
v -> změna \frac{m}{M}V
-> pozorovaný pohyb o 2 řády větší
-> že jako obří atom
\frac{1}{2}M <\dot{s^2}>=\frac{3}{2}k_B T
-> moc velká rychlost vůči pozorvané - neboť ekvipartiční teorém jen když čas mezi pozorováními\sim
času mezi kolizemi
Einstein
1905
náhodná procházka + Maxwell-Boltzmanovo rozdělení -> částice v kapalině když dostane úder díky srážce s molekulou -> změní se její rychlost, ale u viskozní kapaliny tak se rychlost rychle disipuje a celkovým výsledkem srážky je výchylka částice -> kumulativním efektem jsou náhodné skoky v pozici - vzal jako malé -> diferenciální rovnice
že střední kvadratická výchylka se zvětšuje lineárně s časem
že v rovnováze Maxwellovské rozdělení rychlostí -> konstannty v řešení jako funkci T a viskozity
experimentálně potvrzeno 1908
Fokker-Planckova rovnice = Smoluchowskiho rovnice
Odvození:
f Brownovských částic na 1V (=reprezentativní body realizace náhodné veličiny popisující Brownův pohyb) rozptýlených v kapalině v
\vec{r}+\vec{r}+d\vec{r}
v čase t a jsou vystaveny vnější síle\vec{K}=-grad U(\vec{r})
, U- potenciáldíky vlivu
\vec{K}
přechází v objemu\nu
s hranicí S driftový proud částic S (Gaussova věta):\frac{\part}{\part t} \int_{\nu} f(\vec{r},t)d\nu= - \int_S \vec{J_d}.\vec{n}dS=-\int_{\nu}div \vec{J_d} d \nu
rovnice kontinuity:
\frac{\part f}{\part t}+ div \vec{J_d}=0
= zákon zachování reprezentativních bodů -> driftový proud\vec{J_d}-f \vec{v_d}
,\vec{v_d}
- driftová rychlost částice
předpoklad
\vec{K}-\xi \vec{v_d}=0
->\vec{J_d}=f \frac{\vec{k}}{\xi}= - \left( \frac{f}{\xi} \right) gradV
=>\vec{J_d}=-\left( \frac{f}{\xi}\right) grad V
, kde\xi
- odporový součinitel částice,\xi \vec{v_d}
- odpor viskozity
tepelný pohyb částice - difuzní člen
\vec{J_{diff}}=-D grad f
,D=\frac{kT}{\xi}
- koeficient difuze
=>dosazení do rovnice kontinuity -> Smoluchowskiho rovnice:
\frac{\part f}{\part t}= D div \[grad f+ f grad \frac{V}{kT}]
- popisuje vývoj f v konfiguračním prostoru, říká, že rozdělení rychlostí dosáhne statistické rovnováhy což je Maxwellovské rozdělení
Klein - Kramersova rovnice:
\frac{\part f}{\part t}+ \vec{v} grad_r f- \frac{1}{m}grad_v f. grad_r v= \frac{\xi}{m}\[div_v(\vec{r}f)+\frac{kT}{m}\nabla_v^2 f]
- popisuje evoluci hustotyf(\vec{r}, \vec{v}, t)
reprezentativních bodů ve fázovém prostoru(\vec{r}, \vec {v})
Odvození střední kvadratické výchylky částic, Difuze ve vnějším poli
z Langevinovy rovnice (viz. otázka Langevinova rovnice)
Einstein
-> každá individuální částice se pohybuje nezávisle na ostatních
-> pohyb částice v jednom konkrétním okamžiku je nezávislý na pohybu částice v jiném okamžiku, je-li časový interval dost dlouhý
vezme dost dlouhý časový interval
\tau
(aby nezávislé na pohybu v čase t+\tau
) , ale malý vůči době mezi pozorováními....-> střední kvadratická výchylka:
\sqrt{\bar{x^2}}=\sqrt{2Dt}
->
\tau \frac{\part f}{\part x^2}= \frac{1}{2} \frac{\part f}{\part x^2} \bar{\Delta^2}
aD=\frac{1}{2 \tau}\bar{\Delta^2}
(D-translační difuzní koeficient) =>\frac{\part f}{\part t}=D \frac{\part^2 f}{\part x^2}
=difuzní rovnice v 1D pro malá\Delta
- řešením - že všechny částice na začátku blízko sebe (x=0, t=0)řešení difuzní rovnice:
f(x,t)= \frac{1}{\sqrt{4 \Pi D t}} e^{\frac{-x^2}{4Dt}}, \infty <x < \infty
střední kvadratická výchylka částice v x směru:
\sqrt{\bar{x^2}}=\sqrt{2Dt}
a\bar{r^2}=\bar{3x^2}
difuzní koeficient D: částice jsou v poli síly
\vec{K}(x)
(např.gravitační pole), Maxwell-Boltzmanovské rozdělení poloh částicf=f_0 e^{\frac{-V}{kT}}
Aplikace teorie Brownova pohybu v potenciálu
VA charakteristiky Josephsonova přechodu
dielektrická a Kerr-effect relaxace v kapalinách a v molekulárních a nematických kapalných krystalech
pohyblivost superionizovaných vodičů
šířky čar v NMR
nekoherentní rozptyl pomalých neutronů
termalizace
n^0
v moderátoru z těžkého plynuúnik částic přes potenciálové bariéry
magnetická relaxace feromagnetické částice s 1 doménou (superparamagnetismus)
dynamika polymerů