Úvod
Tuhé těleso - nedeformovatelná soustava hmotných bodů, které mají vůči sobě pevné vzdálenosti.
Tuhé těleso má 6
stupňů volnosti - 3
rotační a 3
translační.
Popis rotace:
Zavedeme 2 ortonormální báze: referenční (pevná v prostoru)
(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)
a korotující (pevně spojená s tělesem)
(\vec e^*_1,\vec e^*_2,\vec e^*_3)
.
Natočení tělesa je pak popsáno ortogonální maticí A
:
::\vec e^*_i = A_{ik} \vec e_k \, .
Matice A
je závislá na čase, splňuje relace ortogonality.
Vzpomeňte si na názorný příklad doc. Podolského: kolotoč s koníčkem a slepičkou a opodál stojící Hanka.
Zavedení vektoru úhlové rychlosti
Uvažujme libovolný časově závislý vektor \vec w(t)
,
\vec w(t) = w_i(t)\vec e_i = w^*_i(t)\vec e^*_i(t)
,
přičemž \vec e^*_i(t) = A_{ik}(t)\vec e_k
.
Pak (\frac {d\vec w}{dt})_{prostor} =
*\frac{dw_i}{dt}\vec e_i
(nahlíženo Hankou)
*\frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w^*_i \frac{d\vec e^*_i}{dt} = \frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w_i\frac{dA_{ik}}{dt}A_{jk}\vec e^*_j.
(nahlíženo slepičkou)
Přeznačíme index i na l a j na i a dostaneme, že
\frac{dA_{lk}}{dt}A_{ik} = \Omega^*_{li}.
Úhlová rychlost \Omega
je antisymetrická (má 3 nezávislé složky a lze s ní asociovat duální pseudovektor).
\Omega = \frac{dA}{dt}A^T
Bez ohledu na zvolenou bázi platí vztah
(\frac{d\vec w}{dt})_{prostor(Hanka)} =(\frac{d\vec w}{dt})_{teleso(kolotoc)} + \vec \Omega \times \vec w
Eulerovy úhly
Libovolné otočení kolem bodu (těžiště) lze získat 3 po sobě jdoucími otočeními kolem nějaké osy. Zavádíme tzv. Eulerovy úhly. Vezmeme dvě báze: referenční \vec x_1,\vec x_2,\vec x_3
a korotující \vec x^*_1,\vec x^*_2,\vec x^*_3
. Jejich vzájemná poloha je určena těmito úhly:
***precesní úhel** $\ \phi$ z $<0,2\pi>$ - nula odpovídá ose $\vec x_1$, úhel leží v rovině $\{\vec x_1,\vec x_2\}$, kladná orientace ve směru osy $\vec x_2$; měříme úhel, který svírá osa $\vec x_1$ s přímkou $\vec n$, která vznikne protnutím roviny $\{\vec x_1,\vec x_2 \}$ a roviny \{\vec x^*_1,\vec x^*_2 \}
***nutační úhel** $\ \theta$ z $<0,\pi>$ - nula odpovídá ose $\vec x_3$, kladná orientace směrem k rovině $\{\vec x_1,\vec x_2 \}$, měníme úhel mezi osou $\vec x_3$ a \vec x^*_3
***rotační úhel** $\ \psi$ z $<0,2\pi>$ - nula je v rovině $\{\vec x_1,\vec x_2\}$, kladná orientace směrem k ose $\vec x_3$, měníme úhel mezi přímkou $\vec n$ a osou \vec x^*_1
.
Jedná se tedy o 3 otočení a vzájemná poloha pevné a korotující báze je pak určena součinem matic těchto otočení.
Eulerovy kinematické rovnice
Pomocí Eulerových úhlů můžeme vyjádřit vektor úhlové rychlosti, výsledek se nazývá Eulerovy kinetické rovnice.
\Omega_x = \dot \phi \sin\theta \sin\psi + \dot \theta \cos\psi \, ,
\Omega_y = \dot \phi \sin\theta \cos\psi - \dot \theta \sin\psi \, ,
\Omega_z = \dot \phi \cos\theta + \dot \psi \, .
Tenzor setrvačnosti
Tenzor setrvačnosti je symetrický tenzor 2. řádu (bilineární funkce nezávisí na pořadí vektorů), lze tedy diagonalizovat. Hlavní osy tenzoru setrvačnosti dostaneme, když budeme v bázi vlastních vektorů.
Přes vektory
Vyjdeme z celkového momentu hybnosti \vec L
tuhého tělesa
\vec L = \sum_{a} \vec r^a \times \vec p^a = \sum_{a} m^a \vec r^a \times \vec v^a
,
kde sčítáme přes všechny hmotné body tuhého tělesa.
\vec L = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a)
Zvolme libovolný vektor \vec \xi
a udělejme průmět pomocí skalárního součinu
\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a) \cdot \vec \xi
.
Můžeme udělat cyklickou záměnu a dostaneme
\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a (\vec \xi \times \vec r^a ) \cdot (\vec \Omega \times \vec r^a ) = I (\vec \xi, \vec \Omega)
.
Přes složky
Uvažujme těleso s rotační energií
$T_{rot}=\frac{1}{2}\sum_{a} m_a \dot{\vec{r}}a ^2 = \frac{1}{2}\sum{a} m_a \left( \vec{\Omega} \times \vec{r}_a \right)^2
.
\qquad \left(\star\right)$
Dále užijeme
\left( \vec \Omega \times \vec r_a \right)^2 = \vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 - \left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2
... platí, protože třeba \sin ^2 = 1 - \cos ^2
.
Rozepíšeme složky vektorů
\vec \Omega = \Omega_i \vec e_i
a (\vec r_a)_i = (\vec r_a)_i \vec e_i.
Potom je
\left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2 = \Omega_i \Omega_j (r_a)_i (r_a)_j
a
\vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 = \Omega_i \Omega_j \vec e_i \vec e_j \cdot (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \vec e_i \vec e_j = \Omega_i \Omega_j \delta_{ij} \cdot \left(\vec r_a \right)^2
.
Tedy dohromady je
\left( \vec \Omega \times \vec r_a \right)^2 = \left\[ (\vec r_a)^2 \delta_{ij} - (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \right]\Omega_i \Omega_j
.
Tenzorem setrvačnosti nazvěme člen z \left(\star\right)
I_{ij} = \sum_a m_a \left\[ (\vec r_a)^2 \delta_{ij} - (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \right]
. \qquad\left(\heartsuit\right)
tak abychom kinetickou energii získali jako
$T_{rot}=\frac{1}{2} I_{ij}\Omega_i \Omega_j
$.
...Tak jest pro diskrétní body.
Pro masiv přepíšeme \left(\heartsuit\right)
do řeči integrálů intuitivně
I_{ij} = \iiint \mathrm{d} \vec r \rho(\vec r) \left\[ (\vec r)^2 \delta_{ij} - r_i r_j \right]
.
Eulerovy dynamické rovnice
Vyjdeme z 2. věty impulsové (referenční báze):
::\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm Hanka} = \left(\vec M \right)_{\rm Hanka}.
Pak zvolíme korotující bázi hlavních os tenzoru setrvačnosti
::\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm kolotoc} + \vec \Omega \times \vec L = \vec M
a dostaneme Eulerovy dynamické rovnice:
::I_1 \dot \Omega_x - (I_2 - I_3) \Omega_y \Omega_z = M_x \, ,
::I_2 \dot \Omega_y - (I_3 - I_1) \Omega_z \Omega_x = M_y \, ,
::I_3 \dot \Omega_z - (I_1 - I_2) \Omega_x \Omega_y = M_z \, .
Zde jsme použili vztah pro moment hybnosti L_i = I_{ij} \Omega_j
v korotující bázi.
Setrvačníky
Tuhé těleso, které má pevný bod, nazýváme setrvačníkem. Pokud má těleso navíc osu souměrnosti rozložení hmotnosti (se kterou ztotožňujeme osu \vec e^*_3
), platí navíc I_1^{}= I_2
a setrvačník je symetrický.
Pokud vyšetřujeme pohyb bezmomentového symetrického setrvačníku, můžeme řešit Eulerovy dynamické rovnice s momenty sil rovnými nule a s podmínkou I_1^{} = I_2
. Dostaneme
\psi = \frac{K}{sin\theta_0} t + \psi_0
\ \theta = \theta_0
\ \phi = \Omega_0 t + \delta
Osa souměrnosti setrvačníku se otáčí úhlovou rychlostí \dot \psi = \frac{K}{sin\theta_0}
kolem konstantního směru momentu hybnosti \vec L
. Tento kužel pevný v prostoru, jehož osu tvoří vektor momentu hybnosti \vec L
a povrch osa symetrie setrvačníku, nazýváme notačním kuželem. Při pohybu osy souměrnosti setrvačníku po notačním kuželi hovoříme o precesi. Při změně Eulerova úhlu \theta
hovoříme o nutaci.
Na druhou stranu, chceme-li popsat pohyb těžkého symetrického setrvačníku (tj. tuhého tělesa otáčejícího se v tíhovém poli Země), je lepší použít Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Lagrangián bude mít tvar ( \vec G
je tíha tělesa, \vec r_S
poloha hmotného středu)
\vec L = \frac{1}{2} (I_1 (\Omega_1^2 + \Omega_2^2) + I_3\Omega_3^2) + \vec G \cdot \vec r_S
.
Řešení nelze obecně vyjádřit pomocí elementárních funkcí, jen ve tvaru eliptických integrálů. Lze však provést kvalitativní diskusi. Řešení můžeme dobře znázornit, když kolem bodu upevnění setrvačníků opíšeme kulovou plochu a na ní vyznačíme její průsečík s osou souměrnosti. Průsečík se vždy pohybuje po pásu na kulové ploše. Můžeme rozlišit 3 případy v závislosti na \dot \psi
:
*a) \dot \psi
> 0 - průsečík tvoří vlnky,
*b) \dot \psi
= 0 - průsečík tvoří "spojená U" (obrazec mezi vlnkou a smyčkou).
*c) \dot \psi
< 0 - průsečík tvoří smyčky,
image:Setrvacnik.gif
Links
Poznámky k přednášce doc. Podolského: Tuhé těleso