Úvod

Státní závěrečná zkouška

Tuhé těleso - nedeformovatelná soustava hmotných bodů, které mají vůči sobě pevné vzdálenosti.

Tuhé těleso má 66 stupňů volnosti - 33 rotační a 33 translační.

Popis rotace:

Zavedeme 2 ortonormální báze: referenční (pevná v prostoru) (e⃗1,e⃗2,e⃗3)(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)

a korotující (pevně spojená s tělesem) (e⃗1∗,e⃗2∗,e⃗3∗) (\vec e^*_1,\vec e^*_2,\vec e^*_3) .

Natočení tělesa je pak popsáno ortogonální maticí AA:

::e⃗i∗=Aike⃗k .\vec e^*_i = A_{ik} \vec e_k \, .

Matice AA je závislá na čase, splňuje relace ortogonality.

Vzpomeňte si na názorný příklad doc. Podolského: kolotoč s koníčkem a slepičkou a opodál stojící Hanka.

Zavedení vektoru úhlové rychlosti

Uvažujme libovolný časově závislý vektor w⃗(t)\vec w(t),

w⃗(t)=wi(t)e⃗i=wi∗(t)e⃗i∗(t)\vec w(t) = w_i(t)\vec e_i = w^*_i(t)\vec e^*_i(t),

přičemž e⃗i∗(t)=Aik(t)e⃗k\vec e^*_i(t) = A_{ik}(t)\vec e_k.

Pak (dw⃗dt)prostor=(\frac {d\vec w}{dt})_{prostor} =

*dwidte⃗i\frac{dw_i}{dt}\vec e_i (nahlíženo Hankou)

*dwi∗dte⃗i∗+wi∗de⃗i∗dt=dwi∗dte⃗i∗+widAikdtAjke⃗j∗.\frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w^*_i \frac{d\vec e^*_i}{dt} = \frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w_i\frac{dA_{ik}}{dt}A_{jk}\vec e^*_j. (nahlíženo slepičkou)

Přeznačíme index i na l a j na i a dostaneme, že

dAlkdtAik=Ωli∗.\frac{dA_{lk}}{dt}A_{ik} = \Omega^*_{li}.

Úhlová rychlost Ω\Omega je antisymetrická (má 3 nezávislé složky a lze s ní asociovat duální pseudovektor).

Ω=dAdtAT\Omega = \frac{dA}{dt}A^T

Bez ohledu na zvolenou bázi platí vztah

(dw⃗dt)prostor(Hanka)=(dw⃗dt)teleso(kolotoc)+Ω⃗×w⃗(\frac{d\vec w}{dt})_{prostor(Hanka)} =(\frac{d\vec w}{dt})_{teleso(kolotoc)} + \vec \Omega \times \vec w

Eulerovy úhly

Libovolné otočení kolem bodu (těžiště) lze získat 3 po sobě jdoucími otočeními kolem nějaké osy. Zavádíme tzv. Eulerovy úhly. Vezmeme dvě báze: referenční x⃗1,x⃗2,x⃗3\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3 a korotující x⃗1∗,x⃗2∗,x⃗3∗\vec x^*_1,\vec x^*_2,\vec x^*_3. Jejich vzájemná poloha je určena těmito úhly:

***precesní úhel** $\ \phi$ z $<0,2\pi>$ - nula odpovídá ose $\vec x_1$, úhel leží v rovině $\{\vec x_1,\vec x_2\}$, kladná orientace ve směru osy $\vec x_2$; měříme úhel, který svírá osa $\vec x_1$ s přímkou $\vec n$, která vznikne protnutím roviny $\{\vec x_1,\vec x_2 \}$ a roviny {x⃗1∗,x⃗2∗}\{\vec x^*_1,\vec x^*_2 \}

***nutační úhel** $\ \theta$ z $<0,\pi>$ - nula odpovídá ose $\vec x_3$, kladná orientace směrem k rovině $\{\vec x_1,\vec x_2 \}$, měníme úhel mezi osou $\vec x_3$ a x⃗3∗\vec x^*_3

***rotační úhel** $\ \psi$ z $<0,2\pi>$ - nula je v rovině $\{\vec x_1,\vec x_2\}$, kladná orientace směrem k ose $\vec x_3$, měníme úhel mezi přímkou $\vec n$ a osou x⃗1∗\vec x^*_1.

Jedná se tedy o 3 otočení a vzájemná poloha pevné a korotující báze je pak určena součinem matic těchto otočení.

Eulerovy kinematické rovnice

Pomocí Eulerových úhlů můžeme vyjádřit vektor úhlové rychlosti, výsledek se nazývá Eulerovy kinetické rovnice.

Ωx=ϕ˙sin⁡θsin⁡ψ+θ˙cos⁡ψ ,\Omega_x = \dot \phi \sin\theta \sin\psi + \dot \theta \cos\psi \, ,

Ωy=ϕ˙sin⁡θcos⁡ψ−θ˙sin⁡ψ ,\Omega_y = \dot \phi \sin\theta \cos\psi - \dot \theta \sin\psi \, ,

Ωz=ϕ˙cos⁡θ+ψ˙ .\Omega_z = \dot \phi \cos\theta + \dot \psi \, .

Tenzor setrvačnosti

Tenzor setrvačnosti je symetrický tenzor 2. řádu (bilineární funkce nezávisí na pořadí vektorů), lze tedy diagonalizovat. Hlavní osy tenzoru setrvačnosti dostaneme, když budeme v bázi vlastních vektorů.

Přes vektory

Vyjdeme z celkového momentu hybnosti L⃗\vec L tuhého tělesa

L⃗=∑ar⃗a×p⃗a=∑amar⃗a×v⃗a\vec L = \sum_{a} \vec r^a \times \vec p^a = \sum_{a} m^a \vec r^a \times \vec v^a,

kde sčítáme přes všechny hmotné body tuhého tělesa.

L⃗=∑amar⃗a×(Ω⃗×r⃗a)\vec L = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a)

Zvolme libovolný vektor ξ⃗\vec \xi a udělejme průmět pomocí skalárního součinu

L⃗⋅ξ⃗=∑amar⃗a×(Ω⃗×r⃗a)⋅ξ⃗\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a) \cdot \vec \xi .

Můžeme udělat cyklickou záměnu a dostaneme

L⃗⋅ξ⃗=∑ama(ξ⃗×r⃗a)⋅(Ω⃗×r⃗a)=I(ξ⃗,Ω⃗)\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a (\vec \xi \times \vec r^a ) \cdot (\vec \Omega \times \vec r^a ) = I (\vec \xi, \vec \Omega) .

Přes složky

Uvažujme těleso s rotační energií

$T_{rot}=\frac{1}{2}\sum_{a} m_a \dot{\vec{r}}a ^2 = \frac{1}{2}\sum{a} m_a \left( \vec{\Omega} \times \vec{r}_a \right)^2

.. \qquad \left(\star\right)$

Dále užijeme

(Ω⃗×r⃗a)2=Ω⃗2(r⃗a)2−(Ω⃗⋅r⃗a)2\left( \vec \Omega \times \vec r_a \right)^2 = \vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 - \left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2 ... platí, protože třeba sin⁡2=1−cos⁡2 \sin ^2 = 1 - \cos ^2 .

Rozepíšeme složky vektorů Ω⃗=Ωie⃗i\vec \Omega = \Omega_i \vec e_i a (r⃗a)i=(r⃗a)ie⃗i. (\vec r_a)_i = (\vec r_a)_i \vec e_i.

Potom je

(Ω⃗⋅r⃗a)2=ΩiΩj(ra)i(ra)j\left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2 = \Omega_i \Omega_j (r_a)_i (r_a)_j

a

Ω⃗2(r⃗a)2=ΩiΩje⃗ie⃗j⋅(r⃗a)i(r⃗a)je⃗ie⃗j=ΩiΩjδij⋅(r⃗a)2\vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 = \Omega_i \Omega_j \vec e_i \vec e_j \cdot (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \vec e_i \vec e_j = \Omega_i \Omega_j \delta_{ij} \cdot \left(\vec r_a \right)^2.

Tedy dohromady je

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 54: …ight)^2 = \left\̲[̲ (\vec r_a)^2 \…

.

Tenzorem setrvačnosti nazvěme člen z (⋆)\left(\star\right)

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 26: …sum_a m_a \left\̲[̲ (\vec r_a)^2 \…

. (♡)\qquad\left(\heartsuit\right)

tak abychom kinetickou energii získali jako

$T_{rot}=\frac{1}{2} I_{ij}\Omega_i \Omega_j

$.

...Tak jest pro diskrétní body.

Pro masiv přepíšeme (♡)\left(\heartsuit\right) do řeči integrálů intuitivně

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 53: …o(\vec r) \left\̲[̲ (\vec r)^2 \de…

.

Eulerovy dynamické rovnice

Vyjdeme z 2. věty impulsové (referenční báze):

::(dL⃗dt)Hanka=(M⃗)Hanka.\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm Hanka} = \left(\vec M \right)_{\rm Hanka}.

Pak zvolíme korotující bázi hlavních os tenzoru setrvačnosti

::(dL⃗dt)kolotoc+Ω⃗×L⃗=M⃗\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm kolotoc} + \vec \Omega \times \vec L = \vec M

a dostaneme Eulerovy dynamické rovnice:

::I1Ω˙x−(I2−I3)ΩyΩz=Mx ,I_1 \dot \Omega_x - (I_2 - I_3) \Omega_y \Omega_z = M_x \, ,

::I2Ω˙y−(I3−I1)ΩzΩx=My ,I_2 \dot \Omega_y - (I_3 - I_1) \Omega_z \Omega_x = M_y \, ,

::I3Ω˙z−(I1−I2)ΩxΩy=Mz .I_3 \dot \Omega_z - (I_1 - I_2) \Omega_x \Omega_y = M_z \, .

Zde jsme použili vztah pro moment hybnosti Li=IijΩj L_i = I_{ij} \Omega_j v korotující bázi.

Setrvačníky

Tuhé těleso, které má pevný bod, nazýváme setrvačníkem. Pokud má těleso navíc osu souměrnosti rozložení hmotnosti (se kterou ztotožňujeme osu e⃗3∗\vec e^*_3), platí navíc I1=I2I_1^{}= I_2 a setrvačník je symetrický.

Pokud vyšetřujeme pohyb bezmomentového symetrického setrvačníku, můžeme řešit Eulerovy dynamické rovnice s momenty sil rovnými nule a s podmínkou I1=I2I_1^{} = I_2. Dostaneme

ψ=Ksinθ0t+ψ0\psi = \frac{K}{sin\theta_0} t + \psi_0

 θ=θ0\ \theta = \theta_0

 ϕ=Ω0t+δ\ \phi = \Omega_0 t + \delta

Osa souměrnosti setrvačníku se otáčí úhlovou rychlostí ψ˙=Ksinθ0\dot \psi = \frac{K}{sin\theta_0} kolem konstantního směru momentu hybnosti L⃗\vec L. Tento kužel pevný v prostoru, jehož osu tvoří vektor momentu hybnosti L⃗\vec L a povrch osa symetrie setrvačníku, nazýváme notačním kuželem. Při pohybu osy souměrnosti setrvačníku po notačním kuželi hovoříme o precesi. Při změně Eulerova úhlu θ\theta hovoříme o nutaci.

Na druhou stranu, chceme-li popsat pohyb těžkého symetrického setrvačníku (tj. tuhého tělesa otáčejícího se v tíhovém poli Země), je lepší použít Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Lagrangián bude mít tvar ( G⃗\vec G je tíha tělesa, r⃗S\vec r_S poloha hmotného středu)

L⃗=12(I1(Ω12+Ω22)+I3Ω32)+G⃗⋅r⃗S\vec L = \frac{1}{2} (I_1 (\Omega_1^2 + \Omega_2^2) + I_3\Omega_3^2) + \vec G \cdot \vec r_S.

Řešení nelze obecně vyjádřit pomocí elementárních funkcí, jen ve tvaru eliptických integrálů. Lze však provést kvalitativní diskusi. Řešení můžeme dobře znázornit, když kolem bodu upevnění setrvačníků opíšeme kulovou plochu a na ní vyznačíme její průsečík s osou souměrnosti. Průsečík se vždy pohybuje po pásu na kulové ploše. Můžeme rozlišit 3 případy v závislosti na ψ˙\dot \psi:

*a) ψ˙\dot \psi > 0 - průsečík tvoří vlnky,

*b) ψ˙\dot \psi = 0 - průsečík tvoří "spojená U" (obrazec mezi vlnkou a smyčkou).

*c) ψ˙\dot \psi < 0 - průsečík tvoří smyčky,

image:Setrvacnik.gif

Státní závěrečná zkouška