Sylabus
*Aplikace kvantové mechaniky Volná částice. Částice v potenciálové jámě. Tunelový jev. Lineární harmonický oscilátor. Atom vodíku. *
Volná částice
volná -> žádné okrajové podmínky pro vlnovou funkci, nekvantovaná energie a nekvantovaný impuls
Stacionární stavy
nejdříve vyřešit pro jednu dimensi
Cílem je vyřešit nečasovou Schrödingerovu rovnici (tedy najít tvar ): $
-\frac{h^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{dx^2} = E\psi (x)\ (17.1)$
Přepíšeme do tvaru a označíme , kde je vlnový vektor. Když najdeme řešení odpovídajícího charakteristického polynomu , tak odkud dostaneme
Odtud řešení Schrödingerovy rovnice (17.2) .
Z definice operátoru je vidět,že impuls částice s takovou vlnovou funkcí je .
Vlnová funkce jde tedy psát ve tvaru .
Výsledná časová funkce se zapíše jako
(impuls může nabývat kladných i záporných hodnot) a celková energie částice je její kinetická energie
Vlnová funkce (17.5) je vlastní funkcí hamiltoniánu s vlastní energií .
Tato funkce je zároveň vlastní funkcí operátoru impulsu s vlastní hodnotou .
Operátory
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 9: \hat p\ \̲m̲b̲o̲x̲{a}\ \hat T
spolu komutují,ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 2: \̲[̲\hat T, \hat p]…
, takže mají stejné vlastní funkce. Jednorozměrný pohyb volné částice jde proto popsat dvěma kvantovými čísly - kinetickou energií a impulsem .PS: De Broglieho vztah nebylo třeba předpokládat, vyšel řešením Schrödingerovy rovnice.
Normování
Vlnová funkce volné částice nelze normovat na jedničku . Normuje se proto buď na objem nebo na Diracovu -funkci.
Na konečný objem
Nejdřív zavedeme umělé kvantování s pomocí cyklické (periodické) hraniční podmínky: , kde je vlnová funkce a je délka intervalu, po kterém se vlnová funkce periodicky opakuje. To vede na kvantování momentu hybnosti .
Kvůli periodicitě exponenciály stačí uvažovat , kde bude velké přirozené číslo. Vzhledem k periodicitě vlnové funkce lze pak zavést normování při integraci přes libovolný interval délky , takže dostaneme vlnové funkce s kvantovanými impulsy
Všechny výpočty se pak provádějí s těmito funkcemi, na konci se provede limita . Pro vlnovou funkci závisející na třech prostorových souřadnicích se normování provede pro každou souřadnici zvlášť.
Na -funkci
Využijeme vyjádření -fce ve tvaru .
Normujeme-li prostorovou část vlnové funkce vztahem , dostaneme skalární součin ,
Toto normování má přednost především z hlediska relací úplnosti a Diracovy symboliky.
Obecné řešení časové Schrödingerovy rovnice
Obecné řešení časové Schr. rovnice lze psát jako superposici řešení , kde je komplexní koeficient rozvoje do rovinných vln závislý na . Funkce je Fourierovým obrazem funkce a lze ho určit zpětnou transformací
Ve 3D tedy
a
Potenciálová jáma
Nekonečně hluboká
1-dimensionální
V intervalu položíme potenciál , mimo tento interval ji položíme nekonečně velkou. Všude kromě intervalu bude tedy a pro řešíme stacionírní Schrödingerovu rovnici
To vede na řešení (viz volná částice).
Konstanty získáme z podmínek spojitosti a okrajích, tedy
.
Vyřešením první podmínky dostaneme , kde je komplexní konstanta, dosazením do druhé podmínky získáme , odkud .
Jelikož , jsou tedy energie a je vidět, že kvantování je důsledkem okrajových podmínek.
Vlnové funkce příslušné těmto energiím jsou
Konstantu určíme z normovacích podmínek $\int_{0}^{a} N^2 {sin^2(\frac{\pi n x}{a})}dx=1,\
\mbox{subst.}\ y=\frac{\pi nx}{a},\ dx=\frac{a dy}{\pi n},\
\frac{aN^2}{\pi n} \int_{0}^{\pi n} {sin^2(y)} dy=1,\ \Rightarrow
N=\sqrt{\frac{2}{a}}e^{i\alpha} $
je fázový faktor ( je komplexní číslo, takže říká, kam v komplexní rovině to míří), obvykla volíme jako .
Celkově jsou tedy vlnové funkce
a k nim příslušné energie jsou .
Energie stacionárních stavů mají tyto vlastnosti:
Energie jsou větší než nula, stav s energií není možný.
Energetické spektrum je diskrétní a nedegenerované.
Energie jsou úměrné , zatímco jejich rozdíly jsou přibližně lineární v a relarivní rozdíl energií klesá jako . S rostoucím se tedy přibližujeme klasickému případu, kdy jsou energie spojité.
Vlnové funkce jsou ortonormální a tvoří bázi Hilbertova prostoru.
Počet uzlů funkcí v intervalu je roven .
Funkce jsou sudé, respektive liché vzhledem ke středu intervalu , lze vyjádřit s pomocí jejich parity . Vlnová funkce základního stavu je sudá, s rostoucím se parita střídavě mění.
Obecné řešení časové Schrödingerovy rovnice je tvaru .
Koeficienty jsou určeny počáteční podmínkou pro , odkud .
Z požadavku normování funkce plyne
.
Pravděpodobnost naměřit energii ve stavu popsaném vlnovou funkcí je .
3-dimensionální
3D potenciálová jáma je charakterisovaná potenciální energií pro , kde jsou rozměry jámy. Mimo jámu je opět .
Stacionární Schrödingerova rovnice je teď .
Řešíme separací proměnných , tedy předpokládáme, že .
Pro každou vlnovou funkci tak dostaneme stacionární Schr. rovnici
$\frac{-{\hbar}^2}{2m}\frac{d^2\psi_x(x)}{dx^2}=E\psi_x(x),\
\frac{-{\hbar}^2}{2m}\frac{d^2\psi_y(y)}{dy^2}=E\psi_y(y),\
\frac{-{\hbar}^2}{2m}\frac{d^2\psi_z(z)}{dz^2}=E\psi_z(z)$.
Použitím výsledků z 1D jámy dostaneme (normované) funkce s odpovídajícími energiemi .
Je vidět, že např. pro odpovídá některým energiím (vyšším než )několik nezávislých funkcí. Pak jde o degenerovanou energii. Čím vyšší je symetrie hamiltoniánu, tím je vyšší degenerace.
Samozřejmě lze vytvořit i jinou potenciálovou jámu, než pravoúhlou krabici. Potom ale Schr. rovnice obvykle nemá analytické řešení. Řešitelná je např. jáma ve tvaru koule, kde jsou řešením sférické Besselovy funkce.
Konečně hluboká
Předpokládáme, že v jámě (pro ) je potenciál roven a mimo jámu je .
image:konecna%20jama%20II.jpg
Řešíme tedy stacionární Schr. rovnici .
Tato Schr. rce má spojité energetické spektrum pro a diskrétní pro .
Hledáme vlnové funkce spojité, jednoznačné, konečné, se spojitými derivacemi v bodech skoku potenciálu.
Diskrétní spektrum
Vzhledem k symetrii se můžeme zabývat řešením pouze pro .
Řešíme tedy rovnice , kde pro a , kde pro .
Sudá řešení
Bereme řešení ve tvaru a , kde a jsou konstanty.
Ze spojitosti vlnové funkce a její první derivace dostáváme sešívací podmínky:
$A\cos(\frac{ka}{2})=Be^{-\frac{a\alpha}{2}},\
A\sin(\frac{ka}{2})=B\frac{\alpha}{k} e^{-\frac{a\alpha}{2}} $.
Determinant soustavy musí být 0 (aby existovalo netriviální řešení): .
Neboli musí platit , kde je celé číslo.
Využitím , dostaneme
Možné hodnoty vlnového vektoru jsou a tedy energie jsou určeny (pro sudé vázané stavy) vztahem:
.
image:graf%20reseni.jpg
Obrázek ukazuje grafické řešení rovnice. Je vidět, že i pro velmi úzkou a mělkou jámu existuje alespoň jedno řešení, tedy vždy existuje alespoň jeden sudý vázaný stav. S rostoucím a se přímka odchyluje od osy ; podobně se s rostoucím posunují křivky pravé strany rovnice doprava. Podle toho se pak objevují další řešení a počet vázaných stavů v diskrétním spektru energií roste. Celkový je sudých vázaných stavů konečně mnoho a aspoň jeden.
Lichá řešení
Analogicky se sudým řešením dostaneme a ,
sešívací podmínky jsou $A\sin(\frac{ka}{2})=Be^{-\frac{a\alpha}{2}},\
A\cos(\frac{ka}{2})=-B\frac{\alpha}{k} e^{-\frac{a\alpha}{2}} $,
nulovost determinantu je určena .
Podobně tedy řešení pro liché stavy je dáno rovnicí . Narozdíl od sudých stavů řešení této rovnice nemusí existovat.
Celkově je energií konečně mnoho a existuje aspoň jedna. Vlnové funkce jsou střídavě sudé a liché a jsou nenulové i mimo potenciálovou jámu.
Spojité spektrum
Předpokládáme, že potenciální energie částice s energií je pro a jinde, přičemž .
image:konecna%20jama.jpg
Jak se částice pohybuje k jámě, může se od ní buď odrazit nebo oblastí jámy projít.
V oblasti I je vlnová funkce částice , kde
, přičemž první část vlnové funkce odpovídá dopadající částici (vlně) a druhá část odpovídá částici (vlně) odrazěné od jámy.
V oblasti II bereme tvar , kde
.
V oblasti III je .
Pravděpodobnost průchodu částice jámou se určí z poměru hustoty toku pravděpodobnosti pro prošlou částici k hustotě toku pravděp. pro dopadající částici. Odtud koeficient odrazu je a koeficient průchodu je , přičemž .
Ze sešívacích podmínek v bodě dostaneme
,
.
Ze sešívacích podmínek v vyjádříme a , dosadíme , a dostaneme vyjádřené pomocí .
Dosazením do vztahu pro dostaneme .
Koeficient odrazu je potom .
Pokud potenciálová jáma neexistuje (), pak a koeficient průchodu je 1. (Pro hodně mělkou jámu se blíží 1.)
v závislosti na energii částice ukazuje obrázek.
image:T-E.jpg
Potenciálový val
Uvažujeme pravoúhlý potenciálový val o šířce a výšce . (taková konečná jáma postavená na hlavu)
image:val.jpg
Na něj dopadá částice o energii , která se s určitou pravděpodobností buď odrazí, nebo projde.
Výsledky pro val dostaneme z výsledků pro jámu záměnou a .
Vlnový vektor je pak a je reálný.
Spolu se vztahem máme vztah pro koeficient průchodu
,
kde vlnový vektor odpovídá pohybu volné částice.
Pro libovolně vysoký a široký val existuje určitá pravděpodobnost, že částice projde; s rostoucí šířkou valu a rostoucím rozdílem energií tato pravděpodobnost exponencielně klesá. Pro makroskopické objekty a valy je pravděpodobnost průchodu mizivá.
Lineární harmonický oscilátor
Kvantová mechanika žije v Hilbertově prostoru (HP). Podle toho, jakou zvolíme bázi HP, mluvíme o určité representaci (pokud za bázi zvolímě vlastní vektory operátoru , mluvíme o x-representaci, pokud vlastní vektory operátoru , jde o p-representaci atd.). Některé úlohy jde ale řešit i bez konkrétní representace, tedy čistě abstraktně bez volby báze HP.
Hledáme energie LHO bez konkrétní representace, takže chceme najít spektrum (množinu vlastních čísel) operátoru . Hamiltonián LHO má tvar .
Zavedeme operátor , kde , jsou bezrozměrné souřadnice, získané z normálních souřadnic .
Pro komutátor platí
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 2: \̲[̲\hat x, \hat p]…
a komutátor jeParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 2: \̲[̲\hat X, \hat P]…
.V bezrozměrných souřadnicích a použitím operátoru má teď hamiltonián tvar .
Zavedeme kreační a anihilační operátory . S jejich pomocí lze K přepsat jako .
Využitím ,
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲\hat a,\hat a^+…
a ( jsou vlastní čísla operátoru , jsou jeho vlastní vektory):Působením operátoru tedy dostaneme vyšší stav, působením operátoru stav nižší.
Nelze však snižovat donekonečna, a redy existuje nejnižší stav, který se působením operátoru již nesníží (respektive dostaneme nulový vektor).
Z vlastností skalárního součinu a tedy .
Tento nejnižší stav je základní, který se značí , tedy a tedy
Spektrum operátoru je a tedy spektrum hamiltoniánu je .
Z definičních vztahů pro dostaneme tvar : .
V energetické representaci (báze HP jsou vlastní vektory hamiltoniánu) mají matice tvar s čísly těsně nad nebo pod diagonálou, matice je diagonální s vlastními čísly (energiemi) na diagonále.
Harmonický oscilátor se dá samozřejmě řešit i v souřadnicové reprezentaci. Z asymptotického chování vlnové funkce vyplývá, že , kde . Řešení se pak hledá ve tvaru , kde je řada ve tvaru . Řěšením Schr. robnice vyjdou vztahy mezi koeficienty a z požadavku na integrovatelnost vlnové funkce vyjde, že řada musí být konečná a kvantování energií. Vlnové funkce jsou nakonac dány pomocí Hermitových polynomů: , kde . Energie vyjdou stejně jako ve Fockově reprezentaci.
Vodíku podobný atom
Při řešení atomu vodíku bychom měli počítat s hamiltoniánem pro elektron a proton. Úloha jde ale rozseparovat na polohu těžiště a relativní vzdálenosti částic.
Proton je řádově tisíckrát těžší než elektron, takže počítáme se zafixovaným protonem, okolo kterého obíhá elektron (případně elektron s redukovanou hmotností).
Hamiltonián elektronu v coulombovském poli má tvar:
ve sférických souřadnicích pak
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 29: …{{\hbar}^2}{2m}\̲[̲\frac{1}{r^2}\f…
. Jelikož hamiltonián komutuje s i , mají všechny tyto operátory společné vlastní funkce.Hledáme vlnové funkce v separovaném tvaru , kde je radiální část funkce a kulové funkce jsou vlastní funkce operátorů a ,
a
Dosazením v separovaném tvaru do nečasové Schr. rovnice a z předposledního vztahu dostaneme
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 31: …{\hbar}^2}{2m} \̲[̲\frac{1}{r^2}\f…
Řešením jsou tzv. Laguerrovy polynomy , kde .
Normovací koeficient
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 14: N_{nl}={\left\̲[̲\left(\frac{2Z}…
.image:tvar%20R.jpg
image:tvar%20R%20II.jpg
Ve směru uplaňujeme okrajovou podmínku pro , čímž získáme kvantování energií
, , kde je Bohrův poloměr (vzdálenost, ve které obíhá elektron kolem protonu v základním stavu).
Ke každému přísluší stavy s kvantovými čísly (označované písmeny ) a každý stav s daným může navíc nabývat hodnot . Každý stav je tedy -krát degenerovaný. Všechny ostatní atomy, ve kterých působí i elektron-elektronová interakce, "náhodnou degeneraci" (nezávislost energie na ), která je ve skutečnosti způsobena skrytou symetrií hamiltoniánu, nemají. Elektron v základním stavu atomu vodíku tedy obíhá okolo protonu ve vzdálenosti Bohrova poloměru a má energii Rydberg, tedy . Tvar orbitalu určuje druhá mocnina příslušné kulové funkce.
image:orbitaly.jpg
image:orbitaly%20II.jpg
Při přechodech z excitovaných do nižších stavů může vyzářit fotony o energii . Série přechodu na základní stav je Lymanova, na první excitovaný je Balmerova, na druhý excitovaný Pascheova, na třetí Bracketova a na čvtrý Pfundova. , jsou hlavní kvantová čísla.
image:spektrum.gif
je energie dané elektronové slupky. S rostoucím roste i energie, pro jde . V tom případě je energie vazby příliš slabá na to, aby udržela elektron v obalu vodíku; elektron se pak stává volným, jeho energie přestane být kvantovaná a začne být spojitá (může nabýt libovolné hodnoty).
Stav, kdy s energií je základní stav vodíku. Energii musíme atomu dodat, aby se ionizoval. Stavy s vyšší energií se nazývají excitované stavy a pro jejich ionizaci je potřeby nižší energie.