<Státní%20závěrečná%20zkouška>

Sylabus

Stavba atomů, molekul a kondenzovaných látek Stacionární stavy atomů a molekul, elektrické a magnetické momenty. Elektronové stavy v kondenzovaných látkách. Pásová struktura a elektrická vodivost pevných látek. Vodivost kapalin a plynů. Dielektrické a magnetické vlastnosti látek.

*Beiser: 19. Specifická tepla pevných látek, 20. Pásová teorie pevných látek *

Javorský:

http://kfes-80.karlov.mff.cuni.cz/javor/fyzika4/adm/sylabus.htm http://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/jenkins/mbody/index.html

http://kfes-80.karlov.mff.cuni.cz/javor/Cp/Cp1.html

Elektrony v kovech a polovodičích. Model volných elektronů; Fermiho moře, Fermi-Diracovo rozdělení, tepelná kapacita kovu; pásová struktura v krystalických látkách a její studium pomocí rtg a fotoemisní spektroskopie, kovy a nekovy; normální a přechodové kovy - Fermiho plocha; valenční, vodivostní a zakázané pásy, elektrony a díry, efektivní hmotnost.

Chýba

• dokončiť stavy atómov(viacelektrónové) a molekúl

• dokončiť elektrónové stavy

• vodivosť kvapalín a plynov

Elektronové stavy v kondenzovaných látkách.

Boltzmanova štatistika

Majme sústavu veľa rovnakých častíc, z ktorých každá môže nadobúdať stavy $1,2,\dots ,m$ a v nich má energiu $E_m$. Nech je sústava v rovnováhe s tepelným rezervoárom o teplote $T$. Rôzne stavy môžu mať hoci aj rovnaké energie (napr. $E_1=E_2=E_3<E_4=E_5<\dots$. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraná častica bude v stave $j$, je

::$

P(j) = \frac{e^{-\frac{E_j}{k_B T}}}{Z} $

pravdepodobnosť obsadenia stavu je teda úmerná exponenciále z -(jeho energia)/$k_{B}T$, je teda určená iba energiou stavu. Konštantu úmernosti $1/Z$ vypočítame jednoducho, keď si uvedomíme, že súčet pravdepodobností všetkých stavov musí byť rovný jednej:

::$

\sum_j \frac{1}{Z} e^{-\frac{E_j}{k_B T}} = 1 \implies Z = \sum_j e^{-\frac{E_j}{k_B T}}. $

Konštanta $Z$ sa nazýva partičná suma. Na základe tohto zákona už ľahko určíme strednú energiu častice

::$

\langle E \rangle = \sum_j E_j \frac{e^{-\frac{E_j}{k_B T}}}{Z}, $

alebo akejkoľvek funkcie stavu častice:

::$

\langle f \rangle = \sum_j f(j) \frac{e^{-\frac{E_j}{k_B T}}}{Z} $

Zovšeobecnenie na spojité stavy a energie je jednoduché, sumy prejdú na integrály.

Merné teplo látok

Na konci 19. a začiatku 20. storočia si ľudia kládli otázku, čím je určené merné teplo tuhých látok. Experimentálne bolo známe, že molárne teplo (=molárna tepelná kapacita) $c_v$ väčšiny látok je zhruba konštantné pri bežných teplotách a je rovné $3R$ ($R=k_B{N}_A=8,314\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ je molárna plynová konštanta, známe tiež zo stavovej rovnice $pV=nRT$ ideálneho plynu. To je obsahom tzv. Dulongovho - Petitovho zákona.

Ako ho vysvetlíme?

Tuhú látku si môžeme prestaviť ako kubickú mriežku atómov, pripojených k ostatným pomocou pružín.

image:Atom_na_pruzinach.jpg

Všimnime si jeden atóm: môže kmitať v troch nezávislých kolmých smeroch a pre popis jeho stavu potrebujeme tri súradnice a tri hybnosti, celkovo teda 6 parametrov. Energia takého oscilátora je

::$ \epsilon = \frac{1}{2} k\left(x^2 + y^2 + z^2\right) + \frac{1}{2} \frac{1}{m}\left(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2\right).

$

Pri teplote $T$ atóm všelijako kmitá sem a tam, stráca a opäť získava energiu od svojich susedov - ale dlhodobo je v rovnováhe, čiže možno mu prisúdiť akúsi strednú energiu. Pretože energia jednoho atómu závisí na jeho premenných kvadraticky a na každý parameter vystupujúci v energii kvadratický pripadá podľa ekvipartičnej vety stredná energia $\frac{1}{2}{k}_{B}T$, je celková energia jednoho mólu atómov

::$ U = N_A 6 \frac{1}{2} k_B T = 3RT

$

Molárna tepelná kapacita je potom jednoducho deriváciou vnutorné energíe $U$ podľa $T$:

::$ c_v = \frac{\partial U}{\partial T} = 3R.

$

Týmto klasickým modelom nezávislých oscilátorov sa teda podarilo vysvetliť zvláštnu konštantnosť merného tepla väčšiny látok. Avšak niektoré látky, hlavne ľahké prvky, ako napríklad diamant alebo bór, alebo hliník, vykazovali veľké odchýlky od tohto zákona: ich tepelná kapacita bola menšia než $3R$, napr. diamant při pokojové teplotě má molární tepelnou kapacitu $6,2\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$, což je méně než $20\%$ očekávané hodnoty $3R$. Naviac, merné teplo všetkých látok pri dostatočne nízkej teplote klesá k nule (aj musí kvôli 3. termodynamickej vete), pre väčšinu látok ako $T^3$.

Einsteinov model

Tu prichádza na scénu mladý Einstein (1907), ktorý podľa vzoru Plancka sa rozhodol pre výpočet použiť kvantovú predstavu a vysvetliť tak pozorované fakty. Základným kameňom Einsteinovej úvahy je predpoklad, že energia jednoho harmonického oscilátora môže nadobúdať iba určité pevne dané hodnoty energie, teda, že energetické hladiny sú diskrétne, podľa vzťahu

::$ E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right).

$

Jednoduchým výpočtom pomocou Boltzmannovho rozdelenia sa dá ukázať, že z tejto podmienky vyplýva stredná energia oscilátora pri teplote $T$:

::$ \epsilon = \frac{hf}{e^\frac{hf}{k_BT} - 1},

$

čo je rovnaký výraz, ako použil Planck pre odvodenie spektra čierneho telesa. Pre $T\to \infty$ sa výraz blíži ku klasickej hodnote $k_{B}T$. Celková energia mólu atómov teda je (na jeden atóm opäť pripadajú tri oscilátory):

::$ U = 3N_A \frac{hf}{e^\frac{hf}{k_BT} - 1}.

$

Tepelnú kapacitu už zrátame automaticky

::$ c_v = \frac{\partial U}{\partial T} = 3R\left ( \frac{hf}{k_B T} \right )^2 \frac{e^\frac{hf}{k_BT}}{\left(e^\frac{hf}{k_BT} - 1\right)^2}

$

Einsteinov model dáva prekvapivo výborné výsledky, pri $T\to \infty$ sa $c_v$ blíži k $3R$ a pri $T\to 0$ aj $c_v$ klesá k nule, avšak exponenciálne. Závislosť $T^3$ tento model nepostihuje.

Prečo? Čo je na modeli zle?

V každom prípade model predpokladá nezávislé oscilátory s jedinou a konštantnou frekvenciou $f$, nezávislou na ničom.

Inak k problému pristúpil Paul Debye: namiesto predstavy o atómoch ako oscilátoroch uvažoval spoločné kmity celej mriežky - fonóny. Pre ďalšie odvodenie budeme potrebovať Rayleigho vzťah pre počet kmitových módov v látke v intervale $\left(\lambda ,\lambda +\mathrm{d}\lambda \right)$.

Rayleigho vzťah

image:Kvant.jpg

Predstavme si jeden mól atómov v kocke s hranou $L$. V takej kocke môžu kmitať stojaté vlny, očíslované trojicou celých čísel $n,l,m$. Tieto čísla vravia, koľko polvĺn sa naskladá v kocke v smere $x$, $y$ a $z$. Platí

::$L=n\frac{{\lambda }_x}{2}⟹\frac{1}{{\lambda }_x}=\frac{n}{2L}$

a

::$k_x=\frac{2\pi }{{\lambda }_x}$

a podobne pre ostatné smery, takže taká vlna má vlnový vektor

::$ \mathbf{k} = \frac{\pi}{L}\left(n,l,m\right).

$

s veľkosťou (vlnové číslo)

::$ k = \frac{\pi}{L}\sqrt{n^2+l^2+m^2}.

$

Koľko rôznych vĺn (odlíšiteľných podľa trojice $n,l,m$) môže v látke existovať s vlnovými číslami v intervale $\left(k,k+\mathrm{d}k\right)$?

image:K_priestor.jpg

Na jeden vektor k pripadá v k-priestore objem $\Delta V=(\pi /L{)}^3$, takže hustota vektorov je $\rho =(L/\pi {)}^3$. Objem priestoru, ktorý spadá do $\left(k,k+\mathrm{d}k\right)$ je povrch gule krát jej hrúbka $\mathrm{d}k$, teda $4\pi k^2\mathrm{d}k$. Celkový počet vektorov v guľovej šupke $\left(k,k+\mathrm{d}k\right)$ je teda

::$ N\left(k, k + {\rm d}k\right) = \rho 4\pi k^2 {\rm d}k = (L/\pi)^3 4\pi k^2 {\rm d}k

$

Tento vzťah prepíšeme pomocou vlnovej dĺžky; vieme, že $k=\frac{2\pi }{\lambda }$, $\mathrm{d}k=-\frac{2\pi }{{\lambda }^2}\mathrm{d}\lambda$ a dosadíme to do posledného vzťahu a predelíme objemom $L^3$. Dostávame Rayleigho vzťah pre spektrálnu hustotu možných kmitových módov v intervale ($\lambda ,\lambda +\mathrm{d}\lambda )$:

::$ n\left(k, k + {\rm d}k\right) = \frac{4}{\pi^2} k^2 {\rm d}k,

$

::$ n\left(\lambda, \lambda + {\rm d}\lambda\right) = \frac{4\pi}{\lambda^4} {\rm d}\lambda.

$

Vzťah môžeme prepísať aj pomocou frekvencie, ak predpokladáme, že grupová rýchlosť vĺn $c=2\pi f/k$ nezávisí na frekvencii:

::$ n\left(f, {\rm d}f\right) = \frac{4\pi f^2}{c^3} {\rm d}f.

$

Debyeho model

Debye vo svojom veľmi úspešnom modeli predpokladá, že všetka vnútorná energia látky je schovaná v spoločných excitáciách mriežky, ktorú budeme predpokladať za spojité prostredie ako pri odvodení Rayleigho vzťahu. Pretože v tuhej látke sa môžu šíriť jednak pozdĺžne vlny, jednak priečne vlny v dvoch kolmých smeroch(a kolmých na vlnový vektor), je celkový počet kmitových módov v jednotke objemu látky

::$ n(f),{\rm d}f = 4\pi\left(\frac{1}{c_l^3} + \frac{2}{c_t^3}\right) f^2 {\rm d}f

$

kde $c_l$ je fázová rýchlosť pozdĺžnych a $c_t$ priečnych vĺn. Tu použijeme, podobne ako Einstein, vzťah pre strednú energiu jednoho kmitového módu, a síce

::$ \epsilon = \frac{hf}{e^\frac{hf}{k_BT} - 1}

$

Celková energia uložená v kmitoch o frekvenciách z $\left(f,f+\mathrm{d}f\right)$ je potom

::$ {\rm d}U = n(f),{\rm d}f \epsilon = 4\pi\left(\frac{1}{c_l^3} + \frac{2}{c_t^3}\right) \frac{hf^3}{e^\frac{hf}{k_BT} - 1} {\rm d}f

$

Ak sa pokúsime $\mathrm{d}U$ zintegrovať a získať tak celkovú energiu, dostaneme nekonečno. Vyvstáva tu problém, ktorý sa často vyskytuje vtedy, keď sa pokúsime kvantovať kontinuum. Keďže sme mriežku nahradili kontinuom, v princípe by mali byť prípustné akékoľvek veľké frekvencie(malinké vlnové dĺžky). To by ale znamenalo nekonečnú celkovú energiu(integrál z $\mathrm{d}U$ diverguje). Paul Debye z toho vybŕdol tak, že si uvedomil, že v tuhej látke nemôžu existovať vlny s ľubovoľne malinkými vlnovými dĺžkami. Intuitívne čakáme, že najmenšie vlny by mali mať zhruba rozmer medziatómovej vzdialenosti, o menších už ťažko hovoriť, kedže medzi atómami nie je nič, čo by sa vlnilo.

Pre ohraničenie hornej frekvencie $f_m$ použil Debye predpoklad, že celkový počet stojatých vĺn je rovný počtu stupňov voľnosti látky, teda $3N_A$. Máme teda podmienku

::$ 3N_A = \int_0^{f_m} V_A n(f),{\rm d}f,

$

kde $V_A$ je objem jedného mólu látky. Po zavedení tzv. Debyeho teploty $\Theta =\frac{h{f}_m}{k_B}$ a substitúcii $x=hf/(k_{B}T)$ je možné celkovú energiu vyjadriť ako

::$ U = 9R\frac{T^4}{\Theta^3} \int_0^{\Theta/T} \frac{x^3}{e^x - 1} {\rm d}x

$

a tepelnú kapacitu jednoducho derivovaním; derivujeme ako súčin dvoch funkcií, pričom druhá závisí na $T$ v hornej hranici integrálu, takže po derivovaní z neho zostane iba integrand v tejto hornej hranici:

::$ c_v = \frac{\partial U}{\partial T} = 9R\left[ 4 \left( \frac{T}{\Theta}\right)^3 \int_0^{\Theta/T} \frac{x^3}{e^x - 1} {\rm d}x - \frac{\Theta}{T} \frac{1}{e^{\Theta / T} - 1} \right].

$

Samozrejme, tieto vzorčeky nemá cenu pamätať si, avšak teraz sa môžeme pozrieť na limity. Pri teplote $T$ rastúcej do nekonečna je druhý člen v zátvorke približne rovný jednej a prvý člen obsahuje integrál, kde rozdiel $e^x-1$ nahradíme x; potom je kapacita rovná

::$ c_v \approx 9R\left[ 4 \left(\frac{T}{\Theta} \right)^3 \cdot \frac{1}{3} \left ( \frac{\Theta}{T} \right) ^3 - 1\right] = 3R.

$

Podobne, pre teplotu klesajúcu k nule je druhý člen zanedbateľný(exponenciála v menovateli) a integrál v prvom člene priamo vyčíslime:

::$ c_v \approx 9R \cdot 4 \left ( \frac{T}{\Theta} \right )^3 \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} {\rm d}x = 9R \left [ 4 \left ( \frac{T}{\Theta} \right )^3 \frac{\pi^4}{15}\right].

$

Kapacita teda závisí na teplote ako $T^3$, čo je v súlade s experimentom. Význam Debyeho teploty je ten, že látka nad Debyeho teplotou sa správa v podstate klasicky, jej kapacita je zhruba $3R$ lebo $k_{B}T\gg h{f}_m$ (jednotlivé hladiny sú tak blízko pri sebe, že spektrum sa dá považovať za spojité), avšak pod ňou sa už začína prejavovať kvantový charakter rozdelenia energie.

Iný spôsob ohraničenia frekvencie $f_m$ navrhol Born: podľa neho treba frekvenciu ohraničiť osobitne pre priečne a pozdĺžne vlny.

Hoci je Debyeho model veľmi úspešný, obsahuje tiež určité zjednodušenia, hlavne ostrý zlom vo frekvencii $f$. V skutočnosti spektrum vĺn v látke závisí na jej štruktúre a pokiaľ látka obsahuje molekuly, treba najmä pri vyšších teplotách zahrnúť aj vnútorné kmity týchto molekúl.

Pre porovnanie sú v grafe vynesené Einsteinova a Debyeho závislosť. Debyeho model dáva pre kapacitu trochu väčšiu hodnotu, než Einsteinov.

Einsteinova/Debyeho teória je úspešná pre kovy aj nekovy; to je zvláštne, pretože v kovoch by ku kapacite mali prispievať aj vodivostné elektróny. Každý elektrón má klasicky tri stupne voľnosti, takže ak predpokladáme, že každý atóm prispeje jedným vodivostným elektrónom, máme navyše molárnu tepelnú kapacitu od elektrónov

::$ c_{ve} = N_A \frac{3}{2}k_B = \frac{3}{2}R,

$

ktorá však experimentálne nebola zistená. Príčina je v tom, že väčšina elektrónov v kove je v uväznená hlboko vo Fermiho mori a nezúčastnuje sa prenosu náboja ani tepla. Podrobnejšie v časti o vodivosti kovov.

Image:Kapacity.jpg

Dielektrické a magnetické vlastnosti látok

Elektrina látok

Makroskopický popis

Makroskopický popis elektrických vlastností látok vychádza z toho, že je možné definovať veličinu elektrická polarizácia, ako objemovú hustotu elektrického dipólového momentu:

$ \mathbf{P} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta V}

$

kde objem $\Delta V$ je dosť veľký, aby obsahoval veľa elementárnych atómových či molekulových dipólov, cez ktoré sa streduje ale dosť malý na to, aby funkcia $\mathbf{P}(\mathbf{r})$ zachytila makroskopickú priestorovú závislosť rozdelenia dipólových momentov.

Rôzne látky sa chovajú v elektrickom poli rôzne, avšak pre veľkú väčšinu látok platí, že ich polarizácia je úmerná makroskopickému elektrickému poľu v látke:

$ \mathbf{P} = \chi \epsilon_0 \mathbf{E}

$

kde veličina $\chi$ sa nazýva elektrická susceptibilita a vraví, ako ľahko sa látka polarizuje pod vplyvom elektrického poľa. Elektrická indukcia potom je

$ \mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \epsilon_0 (1 + \chi) \mathbf{E} = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf{E}

$

Permitivita vákua ${ϵ}_0$ má v sústave SI číselnú hodnotu $\frac{10^7}{4\pi c^2}\approx 8,854\cdot 10^{-12}\mathrm{jSI}.$.

Mikroskopický popis

Molekuly niektorých látok vôbec nemajú dipólový moment: ten vzniká až pôsobením elektrického poľa - to sú nepolárne látky . Iné látky obsahujú stále elektrické dipóly, normálne náhodne orientované, takže sa ich moment vyruší. Až vonkajšie elektrické pole ich trochu zorientuje a spôsobí výslednú polarizáciu.

image:Dipol.jpg

Elektrický dipól, vytvorený dvoma nábojmi +q a -q je definovaný ako

$ \mathbf{p} = |q|. \mathbf{a}

$

kde $\mathbf{a}$ smeruje ku kladnému náboju.

V kvantovej teórii je dipólový moment operátor pôsobiaci na vlnovú funkciu: ak je ${\psi }_i$ báza Hilbertovho priestoru stavov nejakej atómovej sústavy, má v tejto báze dipólový moment maticu

$ \mathbf{\hat{p}}_{ij} = \langle \psi_i | \mathbf{\hat{p}} | \psi_j \rangle

$

V prípade jednoduchej vlnovej funkcie jednej častice s nábojom q je

$ \mathbf{\hat{p}}_{ij} = \int_V \psi_i^* q\mathbf{r} \psi_j dV

$

Elektrina nepolárnych plynov

Experimentálne je známe, že susceptibilita plynov $\chi$ je veľmi malá, rádovo desaťtisíciny.

Jednoduchý model nepolárneho plynu predpokladá, že elektrón je v molekule viazaný pružinkou s tuhosťou $k=m{\omega }_0^2$.

image:Molekula.jpg

Po zapnutí poľa sa elektrón vzdiali od centra - tomu sa vraví elektrónová polarizácia; vektor od elektrónu -q ku kladnému náboju +q v molekule je $\mathbf{a}$ a spĺňa

$ q\mathbf{E} = m\omega_0^2 \mathbf{a} \implies \mathbf{a} = \frac{q}{m\omega_0^2} \mathbf{E}

$

(pozor, hoci na oba konce pôsobí sila qE, pružina je naťahovaná iba silou qE, nie 2qE). Dipólový moment molekuly potom je

$ \mathbf{p} = q\mathbf{a} = \frac{q^2}{\omega_0^2 m }\mathbf{E}

$

A polarizácia plynu

$ \mathbf{P} = np = n\frac{q^2}{ \epsilon_0 m \omega_0^2}\epsilon_0\mathbf{E} = n \alpha \epsilon_0 \mathbf{E}

$

kde $n$ je objemová hustota počtu molekúl. Zaviedli sme tzv. polarizovateľnosť molekuly (vlastnosť molekuly)

$ \alpha = \frac{q^2}{\epsilon_0 m\omega_0^2}

$

v ktorej ale nepoznáme frekvenciu ${\omega }_0$. Tú môžeme odhadnúť ako frekvenciu žiarenia zodpovedajúceho ionizácii atómu vodíka(berieme q=e, $K=1/(4\pi {ϵ}_0)$):

$ \hbar \omega_0 = \frac{Ke^2}{2a_1} \implies \omega_0 = \frac{Ke^2}{2a_1 \hbar}

$

takže polarizovateľnosť vychádza

$ \alpha = 16 \pi \left( \frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2} \right ) = 16\pi a_1^3

$

kde $a_1=\frac{{\hslash }^2}{Km{e}^2}$ je Bohrov polomer. Teraz už jednoducho spočítame permitivitu

$ \epsilon_r = 1 + \chi = 1 + n\alpha

$

pre vodík za normálnych podmienok vychádza 1,0002, zatiaľčo skutočná experimentálna hodnota je 1,00026.(Odchýlka najmä kvôli tomu, že vodík tvorí molekuly, čo sme nezapočítali). Pre hélium s vyššou frekvenciou(Z = 2 krát) dáva teória hodnotu 4-krát menšiu, t.j. 1,00005, experiment 1,000068. Teda teória kvalitatívne sedí, hlavne vďaka výberu správnej energie a faktu, že molekuly plynu príliš neinteragujú.

Polárne látky

Niektoré molekuly, ako napríklad voda (a napr. polárne č iónové zlúčeniny) majú stály dipólový moment, ktorý bez prítomnosti vonkajšieho poľa je obyčajne náhodne orientovaný. Po zapnutí poľa sa však dipól snaží natočiť do smeru poľa, aby znížil svoju energiu $-\mathbf{p}\cdot \mathbf{E}$. Tomu vravíme orientačná polarizácia.

Prvý človek, ktorý zrátal polarizáciu štatisticky, bol Langevin. Klasicky môže mať smer dipólového momentu akýkoľvek smer voči poľu $E$, ktorý popíšeme uhlom $\theta$. Zaujímalo by nás, aká je pravdepodobnosť natočenia o uhol $\theta$. Na to a na ešte iné veci použijeme Boltzmannovu štatistiku.

image:Dipol_v_poli2.jpg

Máme veľa elektrických dipólov $\mathbf{p}$ v rovnováhe s rezervoárom o teplote T. Zaveďme si sférickú súradnicovú sústavu tak, že os z mieri v smere vonkajšieho poľa $B$. Pravdepodobnosť, že dipól je v takom stave, že je natočený v smere $(\theta \in (\theta ,\theta +d\theta ),\phi \in (\phi ,\phi +d\phi )$ je podľa Boltzmanna

$ \rho(\theta, \varphi) \sin \theta d\theta d\varphi = \frac{1}{Z} e^{-\frac{-pE\cos\theta}{k_B T}}\sin \theta d\theta d\varphi = \frac{1}{Z} e^{x\cos\theta}\sin \theta d\theta d\varphi ~,~ \mathrm{kde}~x = \frac{pE}{k_B T}

$

$ Z = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} e^{x\cos\theta} \sin\theta d\varphi d\theta = \frac{\pi}{x}\sinh(x)

$

takže výsledná pravdepodobnosť je (do polarizácie prispievajú iba zložky v smere poľa $pcos\theta$):

$ \rho(\theta,\varphi)\sin\theta d\theta d\varphi = \frac{x}{\pi} \frac{e^{x\cos\theta}}{\sinh x}\sin\theta d\theta d\varphi

$

Polarizácia N dipólov v objeme V je potom

$ P = \frac{N}{V} \langle p \rangle = \frac{N}{V} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \rho(\theta,\varphi) \cdot p\cos\theta\cdot \sin\theta d\theta d\varphi = \frac{Np}{V} \left ( \frac{1}{\tanh x} - \frac{1}{x} \right ) = P_m \left ( \frac{1}{\tanh x} - \frac{1}{x} \right )

$

Výraz v zátvorke sa nazýva Langevinova funkcia; jej priebeh je na obr. V okolí nuly sa chová podobne ako tanh, ktorý vychádza pri kvantovom modeli. Pre veľké x sa blíži k 1, t.j. polarizácia dosahuje maximum.

V tomto klasickom modeli predpokladáme, že dipól môže byť natočený do ľubovoľného uhla $\theta$. Správnejší kvantovomechanický prístup predpokladá, že priemet nadobúda iba určité diskrétne hodnoty: tento model je spočítaný v časti paramagnetizmus. Napriek tomu však Langevinov model kvalitatívne správne popisuje správanie polarizácie niektorých látok.

image:Langevin.jpg

Polarizácia kvapalín

Pri počítaní energie dipólu či elektrickej sily sme doteraz brali vonkajšie pole ${\mathbf{E}}_0$. V kvapalinách sú však molekuly veľmi blízko pri sebe, takže sa dá čakať, že nezanedbateľne ovplyvnia lokálne pole pôsobiace na molekulu. Predpokladajme, že na molekulu v polarizovanej kvapaline pôsobí lokálne pole, akoby bola v guľovej dutine. V takom prípade z elektrostatiky vieme, že pole v guľovej dutine je o tretinu polarizácie väčšie, než pole v látke bez dutiny, t.j. lokálne pole pôsobiace na molekulu je

$ \mathbf{E}_{lok} = \mathbf{E} + \frac{1}{3\epsilon_0}\mathbf{P}

$

a teda pre polarizáciu platí upravený vzťah

$ \mathbf{P} = n\alpha\epsilon_0 (\mathbf{E} + \frac{1}{3\epsilon_0}\mathbf{P}) \implies \mathbf{P} = \frac{n\alpha}{1-\frac{n\alpha}{3}}\epsilon_0 \mathbf{E}

$

Z toho plynie Clausiov - Mossottiho vzťah pre permitivitu

$ \chi = \epsilon_r - 1 = \frac{n\alpha}{1-\frac{n\alpha}{3}}

$

Všimnime si, že $n(plyn)\alpha$ je permitivita príslušného plynu; Clausiova-Mossottiho rovnica vraví, aká bude permitivita príslušnej kvapaliny. Napríklad pre plynný kyslík je ${ϵ}_r=1,000523$, pre kvapalný ${ϵ}_r=1,507$ a predpovedaná z CM vzťahu ${ϵ}_r=1,509$. Toto odvodenie však platí iba pre elektrónovú polarizáciu, neplatí pre polárne molekuly, ako je napr. $H_{2}0$.

Ďalšie dielektriká

Niektoré látky prejavujú podivuhodné vlastnosti, napr. feroelektriká, ako je $\mathrm{BaTi}{\mathrm{O}}_3$. Tieto látky si dokážu udržať polarizáciu aj bez vonkajšieho poľa, prípadne sa pri určitých teplotách spontánne polarizovať, podobne ako feromagnetiká. Také látky sa volajú elektrety, avšak nemajú také praktické využitie, ako magnety, pretože obvykle ich polarizáciu vyrušia náboje iónov prítomných vo vzduchu.

Inou triedou látok sú pyroelektriká, ktoré menia elektrické vlastnosti pri zahrievaní. U niektorých kryštálov ochádza k tzv. piezoelektrickému javu, kedy kryštál pod vplyvom elektrického poľa mení svoje rozmery a hoci aj vydáva zvuk. To sa využíva v generátoroch ultrazvuku, - kryštál pod vplyvom premenného elektrického napätia kmitá a vydáva ultrazvuk. Existuje aj opačný efekt, pri mechanickej deformácii kryštálov sa v nich objavuje polarizácia a elektrické napätie. to sa využíva v zapaľovačoch - kryštál sa stlačí a preskočí iskra.

Magnetizmus látok

Všetky látky majú nejaké magnetické chovanie, napr. vytvárajú pole a pole na ne nejako pôsobí - priťahuje, odpudzuje alebo otáča. Ľuďom to nešlo do hlavy, až kým Ampéra nenapadlo, že by magnetizmus látok mohol byť spôsobený mikroskopickými elektrickými prúdmi uzavretými do slučiek. Každá takáto slučka potom znamená malinký magnetický moment; v látke je ich hodne, takže sa prejavia makroskopickou magnetizáciou. Táto predstava je v podstate správna, podrobnosti a chlpy pridala klasická a potom kvantová mechanika.

Látky obyčajne delíme na

• diamagnetické(slabo zoslabujú pole, ${\mu }_r<1$, napr. bizmut),

• paramagnetické(slabo zosilňujú pole, ${\mu }_r>1$ , väčšina látok, napr. hliník, meď$ a

• feromagnetické (zosilňujú pole silne, ${\mu }_r>>1$), napr. železo, kobalt, nikel a potom rôzne zlúčeniny.

Klasický model magnetického momentu

Predstavme si časticu hmotnosti $m$ a elektrického náboja $q$ krúžiacu po kružnici polomeru $r$ rýchlosťou $v$. Taká častica má orbitálny moment hybnosti veľkosti

image:Mag_moment.jpg

$

L = m v r $

a vytvára elektrický prúd

$

I = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{q}{\frac{2\pi r}{v}} = \frac{qv}{2\pi r} $

obiehajúci plochu $S=\pi r^2$. Z definície je potom veľkosť magnetického momentu

$

\mu = IS = \frac{qvr}{2} = \frac{q\cdot mvr}{2m} = \frac{q}{2m} L $

a teda vektor magnetického momentu

$

\boldsymbol{\mu} = \frac{q}{2m} \mathbf{L} $

Všimnite si, že pre elektrón, ktorého náboj je záporný $q_e=-e$, je magnetický moment orientovaný opačne než moment hybnosti. To platí pre orbitálny aj pre spinový moment hybnosti.

Vidíme teda, že magnetický moment je úmerný momentu hybnosti. Tento poznatok je kľúčový a platí vždy, aj v kvantovke. Pomer magnetického momentu $\mu$ a momentu hybnosti $L$ sa nazýva gyromagnetický pomer a pre orbitálny moment hybnosti je, ako sme zistili, rovný

$

\gamma = \frac{q}{2m} $

Kvantový model

V skutočnosti však v mikrosvete pre atómy a molekuly tento klasický vzťah neplatí, rôzne momenty hybnosti môžu prispievať rôzne k celkovému magnetickému momentu. Napríklad príspevok k magnetickému momentu elektrónu od spinového momentu hybnosti je dvakrát väčší, než by sa čakal na základe klasického vzťahu. Aby toto zohľadnil, zaviedol Landé tzv. g-faktor; magnetický moment od nejakého všeobecného momentu hybnosti $J$ potom je

$ \mu = g \cdot \frac{q}{2m} J

$

kde q, m sú náboj a hmotnosť častice(pre atómové jadrá a iné ťažké častice, ako napr. neutrón, ktoré majú rôzne náboje a hmotnosti, sa však Landého vzťah systematicky používa s nábojom a hmotnosťou protónu, aby v tom bol poriadok). Pre orbitálny pohyb elektrónu je $g_o=1$, pre spin elektrónu $g_s=2$. Teraz pozor, tu býva trochu zmätok. Orbitálny moment hybnosti častíc sa kvantuje po jednotkách $\hslash$ a platí preň $g=1$, spinový moment hybnosti sa kvantuje po $\frac{\hslash }{2}$, ale preň je zase g = 2, takže orbitálny aj spinový moment hybnosti dajú rovnaké príspevky k magnetickému momentu. Tento príspevok sa vola Bohrov magnetón a jeho hodnota je

$ \mu_B = \frac{e}{2m}\hbar \approx 9,274.10^{-24}\mathrm{JT^{-1}}

$

Nejaký čas sa počítalo s g=2, no v štandardnej kvantovke to bol navyše zavedený poznatok. Z teórie ho vytiahol až Dirac, kedy dostal pre g-faktor spinového momentu presne 2. O niečo neskôr presné merania ukázali, že v skutočnosti je Landého faktor elektrónu trochu väčší než 2, konkrétne 2.(1,0011) kvôli interakcii s vákuom, čo vysvetlil prvý Schwinger výpočtom z kvantovej elektrodynamiky.

Ako je to s magnetickými momentami nukleónov a jadier? Tu platí obdobný vzťah, ale používa sa náboj a hmotnosť protónu(typická hmotnosť):

$ \mu = g \cdot \frac{e}{2m_p} J

$

Landého faktor pre spin protónu sa ale líši od elektrónového, totiž je g = 2.(2,79) a pre neutrón, ktorý vôbec nemá elektrický náboj, je g = 2.(-1,93), chová sa teda ako rotujúci záporný náboj.

Magnetický moment molekuly je daný súčtom všetkých magnetických momentov od všetkých elektrónov - tu treba správne zložiť všetky momenty hybnosti a príslušné magnetické momenty.

Magnetické pole v látke $B$ závisí na vonkajšom poli $B_0$ zložito, avšak aj tak definujeme relatívnu permeabilitu tak, že

$

\mathbf{B} = \mu_r \mathbf{B_0} $

Vzťah je užitočný v prípade diamagnetík a paramagnetík, kde je výsledné pole $B$ jednoznačnou funkciou $B_0$, a hlavne pri slabých poliach, kedy je závislost lineárna a ${\mu }_r$ je konštanta.

Pre popis magnetických vlastností sa používa veličina magnetizácia, definovaná ako hustota magnetického momentu:

$

\mathbf{M} = \frac{\Delta \boldsymbol{\mu}}{\Delta V} $

V látkach, kde magnetizácia závisí na poli a obvykle je mu úmerná, sa definuje magnetická susceptibilita:

$

\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H} $

Indukcia potom je

$

\mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) = \mu_0(1 + \chi_m)\mathbf{H} = \mu_0\mu_r\mathbf{H} $

a ${\mu }_r$ je relatívna permeabilita látky. Permeabilita vákua ${\mu }_0$ je v SI sústave rovná $4\pi .10^{-7}\mathrm{jSI}$.

Diamagnetizmus

Väčšina látok je zložená z atómov, ktoré majú spárované elektróny - tie sa vždy usporiadajú tak, že výsledný magnetický moment je nulový. Ak sa taká látka dostane do magnetického poľa, vytvoria sa v nej indukované magnetické momenty, ktoré podľa Lenzovho zákona majú opačný smer než vonkajšie pole a slabo ho zoslabujú. Pretože indukovaný moment je opačný než pole, látka je vytláčaná do oblasti slabšieho magnetického poľa. V tom spočíva diamagnetizmus - prejavujú ho všetky látky vždy, je to však natoľko slabý efekt, že ho bežne nepozorujeme. Najsilnejšie diamagnetikum je bizmut a aj v ňom je pole zoslabené iba o rádovo desaťtisíciny. Pretože zoslabuje pole, jeho relatívna permeabilita je ${\mu }_r=0,999824$.

Paramagnetizmus

Inak je to s paramagnetickými látkami. Okrem toho, že vykazujú slabý diamagnetizmus, existujú v nich stále nevykompenzované magnetické momenty. Napr. hliník,meď,... Príkladom je paramagnetická soľ $\mathrm{CuS}{\mathrm{O}}_4$ s jedným nevykompenzovaným elektrónom. Každá molekula potom má nenulový magnetický moment $\mu$. Za normálnych podmienok bez vonkajšieho poľa sú magnetické momenty náhodne orientované a celková magnetizácia je nulová, nulové je teda aj celkové magnetické pole. Situácia sa zmení, keď zapneme vonkajšie pole B, ktoré smeruje hore. V ňom má moment energiu $-\mu B$, ak má rovnaký smer ako pole, a energiu $+\mu B$, ak má smer opačný. Snaží sa teda zarovnať s poľom, aby jeho energia bola minimálna. Tomu však bráni interakcia s okolím - tepelné fluktuácie, ktoré náhodne preklápajú momenty sem a tam.

Aby sme zistili, koľko spinov smeruje hore a koľko dole, použijeme Boltzmannovu štatistiku. V našom prípade máme iba dve možné hladiny momentu $E_1=-\mu B$ a $E_2=+\mu B$, takže pravdepodobnosti, že magnetický moment smeruje hore, resp. dole sú

$

P(\uparrow) = \frac{ e^{ \frac{\mu B}{k_B T}}} {e^{\frac{\mu B}{k_B T}} + e^{-\frac{\mu B}{k_B T}}}, P(\downarrow) = \frac{ e^{ -\frac{\mu B}{k_B T}}} {e^{\frac{\mu B}{k_B T}} + e^{-\frac{\mu B}{k_B T}}} $

a preto výsledná magnetizácia vzorky s $N$ momentami a objemom $V$ je

$

M(T) = \frac{1}{V} \left [(+\mu)P(\uparrow)N + (-\mu)P(\downarrow)N \right ]= \frac{N \mu}{V} \frac{ e^{ \frac{\mu B}{k_B T}} - e^{ -\frac{\mu B}{k_B T}}} {e^{\frac{\mu B}{k_B T}} + e^{-\frac{\mu B}{k_B T}}} = \frac{N \mu}{V} \tanh \left(\frac{\mu B}{k_B T}\right) $

Ak budeme pomaly zvyšovať pole z nuly, spočiatku je pomer v tangensi malý, takže sa dá nahradiť priamou úmernosťou. Pri malých poliach je teda magnetizácia priamo úmerná magnetickému poľu a nepriamo úmerná teplote - to zodpovedá experimentálne pozorovanému Curieho zákonu:

$

M(T) \approx \frac{N \mu}{V} \frac{\mu B}{k_B T} = \frac{C}{T} B $

Pri ďalšom zvyšovaní poľa sa prejavuje jav nasýtenia: väčšina magnetických momentov je už zarovnaná s poľom a magnetizácia sa zvyšuje iba málo, až v limite $B\to \infty$ dosahuje maximálnu hodnotu.

Typická energia Bohrovho magnetónu v poli 1 T je asi $6.10^{-5}\mathrm{eV}$ oproti typickej energii tepelných fluktuácií (pri izbovej teplote 293 K) $k_{B}T\approx 0,025\mathrm{eV}$, takže prakticky vždy platí Curieho zákon, na prechod k nasýteniu by boli potrebné obrovské magnetické polia(alebo zníženie teploty). Na grafe je vyznačená závislosť látkou vytvoreného poľa $B-B_0={\mu }_{0}M$ (pre látku s 1 Bohrovým magnetónom na objem 1 nm<SUP>3</SUP> - to nie je bežne používaná veličina, ale takto si človek lepšie predstaví, aký slabý paramagnetizmus je).

Image:Paramagnet.jpg

Jav paramagnetizmu má využitie napríklad v adiabatickej demagnetizácii, ktorá funguje takto. Máme paramagnetickú soľ a okolie, ktoré chceme ochladiť. Na začiatku silným poľom zoradíme skoro všetky momenty; systému tak klesne entropia. Uvoľnené teplo odvedieme preč. Teraz pomaly vypíname pole: momenty sú tepelnými fluktuáciami preklápané do smeru proti poľu a na to treba energiu, ktorú dodáva okolie, ktoré sa tak ochladzuje. Naša soľ takto vysáva teplo z okolia a okoliu klesá teplota. Slovo adiabatická v názve tu znamená, že demagnetizácia prebieha pomaly - aby to celé fungovalo, musí počas chladenia nejaké pole v látke byť, aby bolo kam a čím vysať teplo z okolia.

Ďalšie využitie paramagnetizmu - NMR - jadrová magnetická rezonancia, a EPR - elektrónová paramagnetická rezonancia, využívajú absorpciu energie magnetickými momentami v magnetickom poli.

Feromagnetizmus

Pri odvodzovaní vzťahu pre paramagnetizmus sme predpokladali, že pole pôsobiace na dipól je vonkajšie pole $B_0$. To platí, pokiaľ je príspevok od ostatných dipólov malý. Ak chceme počítať presnejšie, musíme do pôsobiaceho poľa zahrnúť aj príspevok od ostatných dipólov. Predpokladáme, že lokálne pole pôsobiace na dipól je rovnaké, ako pole v guľovej dutine zmagnetizovanej látky; podobný prípad sme uvažovali v elektrine. Keďže v tomto prípade sú rovnice pre magnetickú intenzitu H a elektrickú intenzitu E rovnaké:

$

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0; \nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0} $

$

\nabla \cdot \mathbf{H} = 0; \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{0} $

je aj riešenie pre H rovnaké ako v prípade E: pole vnútri dutiny je

$

\mathbf{H_{lok}} = \mathbf{H} + \frac{1}{3}\mathbf{M} $

a pre indukciu B platí (sme vo vákuu v guľovej dutine):

$

\mathbf{B_{lok}} = \mu_0\mathbf{H_{lok}} = \mu_0\left(\mathbf{H} + \frac{1}{3}\mathbf{M}\right) $

takže magnetická energia dipólu je

$W=-\mathbf{\mu }\cdot {\mathbf{B}}_{\mathbf{lok}}=-\mathbf{\mu }\cdot {\mu }_0\left(\mathbf{H}+\frac{1}{3}\mathbf{M}\right)$

Výhodou takéhoto zápisu pomocou intenzity H je, že je to priamo merateľná a jednoducho meniteľná veličina(hustota závitov krát prúd vodičom). Namiesto jednej tretiny dopíšeme faktor $\lambda$. Výsledná magnetizácia podľa kvantového modelu teda je

$

M = \frac{N\mu}{V}\tanh\left(\frac{\mu\mu_0(H+\lambda M)}{k_B T} \right) $

Na magnetizáciu teda pôsobí sama magnetizácia; čakáme, že ak teplota nebude príliš veľká, látka sa spontánne zmagnetizuje. To naozaj nastáva; aby sme to uvideli, napíšme magnetizáciu takto:

$

M = M_m \tanh x~,~x = \frac{\mu \mu_0 (H + \lambda M)}{k_B T} $

Veličina x je pomerom vplyvov usporiadavajúceho magnetického poľa a rozrušujúceho tepelného pohybu. Vyjadríme pomocou nej magnetizáciu ešte inak z druhého vzťahu:

$

M = \lambda\frac{k_B T}{\mu \mu_0}\left(x-\frac{\mu \mu_0 H}{k_B T}\right) $

Takto máme pre magnetizáciu dve závislosti na x, ktoré vynesieme do grafu: tie sa pretínajú v nejakom bode, ktorý zodpovedá skutočnému pomeru x a magnetizácii, ktorá mu zodpovedá(pozri obr.).

Ak je vonkajšie pole nulové, t.j. H = 0, tak priamka vychádza priamo z počiatku súradníc a podľa jej sklonu(úmerný teplote) pretína tanh v

• jednom bode - v počiatku, takže látka má nulovú magnetizáciu. To nastáva pri veľkých teplotách.

• v jednom bode, ale má rovnaký sklon ako tanh - v takom prípade sa malým poklesom teploty látka náhle silne zmagnetizuje

• v dvoch bodoch - v x = 0 a v $x=\frac{\mu {\mu }_{0}H}{k_{B}T}$. Dá sa ukázať, že bod x = 0 je nestabilný; látka je vždy zmagnetizovaná

Pri akej teplote dôjde k spontánnej magnetizácii? To je vtedy, keď priamka má rovnaký sklon v nule ako $M_m\tanh x$, teda $M_m$:

$

\lambda\frac{k_B T_C}{\mu \mu_0} = M_m \implies T_C = \frac{\mu \mu_0 M_m \lambda}{k_B} = \frac{n\mu^2 \mu_0 \lambda}{k_B} $

To je Curieho teplota $T_C$. Nad Curieho teplotou látka stráca feromagnetické vlastnosti a stáva sa paramagnetom, pod ňou ich opäť získava. Ak zahrejeme feromagnet v blízkosti magnetu, nad Curieho teplotou zrazu stratí chuť sa k nemu priťahovať; po klesnutí teploty pod Curieho bod ju opäť získa a k magnetu sa pritiahne.

Ak by sme chceli vypočítať Curieho teplotu, namiesto faktoru 3 by sme museli dosadiť mnohokrát väčšie číslo}asi 900). Kvôli kvantovomechanickým efektom sa totiž momenty magnetizujú omnoho radšej, než by to vyplývalo z predstavy o guľovej dutine. Po takejto (Weissovej) oprave teória dáva dobré výsledky, avšak vysvetlenie tejto opravy nie je jednoduché.

Curieho teploty kovov sú obyčajne vysoké teploty(železo 1043 K), takže v bežných podmienkach sú feromagnetické látky v stave spontánnej magnetizácie. Prečo to potom nevidno napr. na železe, ktoré môže byť za normálnych okolností nemagnetické? Dôvodom je, že v skutočnosti sú zmagnetizované malé časti zŕn železa, tzv. domény, avšak tie sú usporiadané tak, aby navonok rušili svoje magnetické pole.

Nad Curieho teplotou sa feromagnet správa paramagneticky a jeho susceptibilita podľa Curie-Weissovho zákona je

$

\chi_m = \frac{C}{T-T_C} $

tesne nad Curieho teplotou je teda veľmi veľká, čo zodpovedá snahe k magnetizácii.

Pri pokusoch sa zistilo, že magnetizácia železa dokonca vôbec nie je funkciou vonkajšieho poľa. Pri jednom a tom istom poli môže byť rôzna, podľa procesu, akým sa do aktuálneho stavu dostala. Predstavme si takýto experiment: máme železný kruh, na ňom navinutú primárnu budiacu cievku a sekundárnu cievku, ktorou meriame zmeny indukčného toku v jadre. Zintegrovaním napätia zo sekundárnej cievky určíme pole B v jadre:

$

B(t) = \frac{1}{S} \int_0^t \frac{d\Phi_B}{dt} dt = \frac{1}{S} \int_0^t -U dt $

pole H určíme jednoducho ako dĺžkovú hustotu závitov krát prúd:

$

H(t) = nI $

a magnetizáciu z definície H

$

M = \frac{B}{\mu_0} - H $

Výsledok merania je na obr. - je to magnetizačná krivka.

image:Hystereza.jpg

Najprv pomaly zvyšujeme vonkajšie pole H; magnetizácia rastie po krivke prvotnej magnetizácie - panenskej krivke ab. Postupne dochádza k nasýteniu, magnetizácia už s poľom ďalej nerastie a je konštantná. Ak sa teraz zastavíme a začneme znižovať pole, magnetizácia sa bude zmenšovať, ale po inej krivke, ktorá leží nad panenskou. Pri nulovom vonkajšom poli H máme nenulovú magnetizáciu - zvyšková magnetizácia $M_z$. Ďalším znižovaním poľa do záporných hodnôt dosiahneme nulovú magnetizáciu pri koercitívnom poli $H_c$. Ďalší priebeh je na obr. - závislosť prebehne pri jednom cykle hysteréznu krivku. Podobný obrázok možno nakresliť pre závislosť B na H. Tu však platí, že pole B sa po dosiahnutí nasýtenia zvyšuje ďalej, úmerne so zvyšovaním H.

V transformátoroch sa pole H mení asi 50x za sekundu; pritom pri každom cykle sa stratí energia úmerná ploche hysteréznej slučky. Prečo? Platí

$

H = nI~,~U = -S\frac{dB}{dt} $

a keďže zdroj vykoná za čas dt elektrickú prácu UIdt, je práca magnetického poľa

$

dW = UIdt = \frac{S}{n}HdB $

Celková práca vykonaná v jednom cykle je teda integrál HdB, a to je plocha našej hysteréznej slučky. Aby sa tieto straty čo najviac zmenšili, používa sa v transformátoroch tzv. transformátorové železo, ktoré obsahuje prímes kremíku a má úzku hysteréznu slučku.

image:Feromagnet.jpg

Predstava feromagnetickej látky je taká, že je tvorená zo zŕn, v ktorých sa nachádzajú viac-menej úplne zmagnetizované oblasti, tzv. domény. V nezmagnetizovanom stave sa látka snaží minimalizovať svoju energiu a vznikajú rôzne usporiadania domén tak, aby sa znížilo vonkajšie pole na minimum. Preto sa smery magnetizácie susedných domén často striedajú. Domény ale nemôžu byť úplne malé, pretože potom sa k slovu prihlási povrchový efekt - medzi doménami sú doménové steny, na ktorých magnetizácia prudko mení smer, čo vyžaduje veľkú interakčnú energiu. Výsledné usporiadanie magnetizácie v doménach je potom výsledkom viacerých súperiacich protichodných procesov. Pri pôsobení vonkajšieho poľa domény menia svoju orientáciu, ba i veľkosť(jedna rastie na úkor druhej), preotže minimalizujú energiu vo vonkajšom poli.

Pri zvyšovaní poľa H a magnetizovaní dochádza k rôznym viac-menej prekrývajúcim sa procesom: najskôr rastú domény, ktorých smer magnetizácie je blízky k vonkajšiemu poľu, potom sa tieto smery magnetizácie natáčajú v smere vonkajšieho poľa a nakoniec, dochádza ešte k malému zväčšeniu magnetizácie, čo je tzv. paraefekt pre jeho príbuznosť s paramagnetizmom.

Feromagnetizmus je jav, ktorý z bežných čistých kovov prejavuje iba železo, kobalt a nikel preto, lebo ich elektróny schované v nezaplnenej vnútornej vrstve majú paralelné spiny(Hundovo pravidlo). Ďalej ho prejavujú aj vzácne zeminy - (neodým, ktorý sa používa na výrobu silných magnetov) a hlavne niektoré zliatiny kovov, čo napovedá, že ide jav, za ktorý je zodpovedná aj štruktúra látky, nie len jej zloženie a stavba atómu.

Pásová struktura a elektrická vodivost pevných látek.

Elektrická vodivosť kovov a polovodičov

Experimentálne zistený Ohmov zákon tvrdí, v situácii, kedy máme na koncoch vodiča potenciálový rozdiel U je prúd prechádzajúci vodičom I úmerný elektrickému napätiu(rozdielu elektrických potenciálov) na koncoch vodiča:

$

I = \frac{U}{R} ~ \implies ~ U = RI $

Platí výborne pre kovy, pre iné látky a elektrické prúdy v elektrolytoch zákon neplatí, avšak ak je prúd jednoznačnou funkciou napätia, aj tak sa používa veličina elektrický odpor, avšak už vo všeobecnosti závisí na elektrickom prúde:

$

U = R(I) I $

v takom prípade je voltampérová charakteristika U(I) zakrivená. Často sa preto zavádza ešte diferenciálny odpor

$

R_d = \frac{dU}{dI} $

V matematicky honosnejšej forme sa Ohmov zákon vyjadruje lokálne

$

\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E} $

kde $\mathbf{j}$ je plošná prúdová hustota a $\sigma$ elektrická vodivosť.

Takto platí Ohmov zákon nielen v stacionárnych prípadoch, kedy elektrónmi hýbe elektrické pole od rozdielu potenciálov, ale aj v prípade, kedy máme indukované elektrické pole(od meniaceho sa magnetického toku), ktoré je nepotenciálové, pretože elektróny cítia iba pole a je im jedno, či je alebo nie je potenciálové. Teoreticky by vo vzťahu mal byť ešte člen $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ z Lorentzovej sily, ale keďže stredné postupné rýchlosti elektrónov vo vodiči sú rádovo mm/s, táto sila je o mnoho rádov menšia než elektrická a zanedbáva sa.

Prečo platí Ohmov zákon?

Odpoveď ako prvý poskytol Drude.

Drudeho model vodivosti

Vraví, že nosič náboja $q$ sa v látke pohybuje po dobu $\tau$ po strednej voľnej dráhe l voľne rýchlosťou v, avšak potom sa zrazí s poruchou mriežky a odrazí v náhodnom smere. Keď je v látke elektrické pole, medzi zrážkami je náboj urýchľovaný v smere poľa a tak získava akúsi strednú posuvnú rýchlosť $v_p$ v smere poľa,ktorá je omnoho menšia než v. Takýto pingpong podstupujú všetky nosiče náboja a tak vytvárajú makroskopický elektrický prúd. To vysvetľuje aj fakt, že elektróny vo vodiči pohybujú nesmierne pomaly - milimetre/s.

Naším cieľom je teraz ukázať, že tento model vysvetľuje Ohmov zákon(linearitu) a spočítať vodivosť nejakej látky, napr. medi.

Majme teda látku pod vplyvom elektrického poľa E. Hustotu nosičov náboja označíme n. Aká bude prúdová hustota? Je to

$

j = nqv_p $

spočítame teda posuvnú rýchlosť nábojov $v_p$.

Náboj práve narazil a ďalej sa pohybuje počas doby $\tau$. Elektrické pole E ho urýchľuje a za čas $\tau$ mu dodá zložku rýchlosti do smeru poľa $v_m=qE\tau /m$. Keďže ide o rovnomerne zrýchlený pohyb, stredná rýchlosť náboja je presne polovica, teda

$ v_p = \frac{qE\tau}{2m}

$

takže prúdová hustota je

$ \mathbf{j} = \frac{nq^2\tau}{2m} \mathbf{E}

$

čo je v súlade s Ohmovým zákonom. Navyše sme dostali vodivosť látky, ktorá je

$ \sigma = \frac{nq^2\tau}{2m}

$

Wiedemannov-Franzov zákon

K elektrickej odhadnime ešte tepelnú vodivosť, definovanú vzťahom

$ \frac{dQ}{dt} = \lambda S \frac{\partial T}{\partial x}

$

Predpokladajme, že elektróny sa chovajú ako plyn o strednej voľnej dráhe l, čase $\tau$ a strednej rýchlosti $v_s$. Ak máme na vzdialenosti strednej voľnej dráhy $l$(stredná voľná dráha) rozdiel teplôt $\Delta T$, zodpovedá to rozdielu energií elektrónu $\Delta E=\frac{3}{2}{k}_B\Delta T$; nejaké množstvo elektrónov sa pohybuje do chladnejšej oblasti a rovnaké množstvo do teplejšej oblasti(zachováva sa koncentrácia). Pre tok energie je preto dôležitý práve rozdiel $\Delta E$. Stredná rýchlosť elektrónov v našom smere x je úmerná $v_s=l/\tau$(na dráhe l), takže vo výsledku je tepelný tok cez plochu S

$

\frac{dQ}{dt} \approx Sn\frac{\Delta E}{\tau} \approx Sn\frac{\Delta E}{l}\frac{l}{\tau} \approx nv_s l ~S\frac{\partial T}{\partial x} $

takže tepelná vodivosť je (so správnou konštantou, ktorá sa dá získať presným výpočtom):

$

\lambda = \frac{1}{2}nv_s l $

je samozrejme úmerná koncentrácii a rýchlosti nosičov a strednej voľnej dráhe. Pre pomer tepelnej a elektrickej vodivosti potom platí(vieme, že $\tau =l/v_s$):

$

\frac{\lambda}{\sigma} = \frac{\pi^2}{3}\left(\frac{k_B}{e}\right)^2 T $

takže pomer tepelnej a elektrickej vodivosti je úmerný teplote., čo je známy Wiedemannov-Franzov zákon., objavený experimentálne.

Drudeho model kvalitatívne správne predpokladá, že vodivosť je úmerná hustote nosičov náboja a stredne voľnej dobe a tiež úspešne vysvetľuje Wiedemannov-Franzov zákon. Kvantitatívna predpoveď je horšia a to najmä vďaka preceneniu počtu vodivostných elektrónov. Elektróny tiež nie sú úplne voľné, vplývajú na ne ostatné elektróny a mriežka.

Pásová teória látok

Podľa kvantovej predstavy môžu elektróny v látke nadobúdať iba určité stavy dané kvantovými číslami, ktorých energia je kvantovaná. Keďže v látke sa nachádza ohromné množstvo atómov, ktoré spolu interagujú, pôvodné hladiny atómov sa rozštiepia na veľké množstvo veľmi blízkych energetických hladín(je ich tak veľa, že sa dajú považovať za kontinuum - zhruba koľko atómov v interakcii, toľko rozštiepených čiar). Existujú však energie, ktoré elektrón nemôže nadobúdať - typicky v látke existujú pásy energií, kde sú prístupné stavy, a pásy, kde stavy nie sú - striedajúce sa pásy dovolených a zakázaných energií tvoria pásovú štruktúru.

(obr.)

image:Pasy.jpg

Stavov v dovolenom páse je také veľké množstvo, že možno zaviesť funkciu hustotu stavov $\rho (E)$ tak, že $\rho (E)dE$ je objemová hustota počtu prístupných stavov s energiou v intervale $(E,E+dE)$. Pre kovy je hustota stavov úmerná odmocnine z energie E. Ukážeme to z jednoduchého modelu voľných nezávislých elektrónov. Opäť použijeme predstavu o kmitových módoch v kocke látky: každý elektrón je popísaný štyrmi kvantovými číslami, troma súradnicami v k-priestore a jedným spinovým, ktoré nadobúda hodnoty buď+1/2, alebo-1/2. Preto počet možných stavov v intervale vlnových čísel $(k,k+dk)$ je(Rayleigho vzťah pre elektrón so spinom)

$ \rho(k) dk = \frac{8}{\pi^2} k^2 dk

$

ktorý vyjadríme pomocou energie elektrónu:

$ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \implies k = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}} E^{1/2}~,~dk = \frac{dk}{dE}dE = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}} \frac{1}{2} E^{-1/2}dE

$

$ \rho(E) dE = \frac{4}{\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} E^{1/2} dE

$

V látke je obyčajne oveľa viac prístupných stavov, ako elektrónov, preto nie všetky stavy sú obsadené. Jeden stav môže byť obsadený maximálne jedným elektrónom. Pre počet obsadených stavov platí

$ n(E)dE = \rho(E) f_{FD}(E) dE = \frac{\rho(E)dE}{e^{\frac{E - E_F}{k_B T}} + 1}

$

kde $E_F$ je Fermiho energia. Vo výraze vystupuje Fermiho-Diracovo rozdelenie; je to pravdepodobnosť, že stav s energiou E bude obsadený fermiónom:

$ f_{FD}(E) = \frac{1}{e^{\frac{(E-E_F}{k_B T}} + 1}

$

image:Fermi_dirac.jpg image:Ne3.jpg

Ak dosadíme do Fermiho-Diracovho rozdelenia energiu $E=E_F$, zistíme, že pravdepodobnosť obsadenia stavu s Fermiho energiou je 1/2. To môžeme využiť na spočítanie Fermiho energie: predstavme si látku pri nulovej teplote. Vtedy sú všetky elektróny v najnižších stavoch a FD rozdelenie je ostrý schod na Fermiho energii. Počet obsadených stavov v jednotkovom objeme je potom počet všetkých elektrónov $n_e$:

$ \int_0^\infty \rho(E) f_{FD}(E)dE = \int_0^{E_F} \rho(E) \cdot 1 dE = \int_0^{E_F} \frac{4}{\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} E^{1/2} dE = n_e

$

$ E_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{3\pi^2}{4} \right)^{2/3} n_e^{2/3}

$

čo zhruba zodpovedá energii elektrónu v objeme, ktorý mu z celkového objemu pripadá. Pre kovy je teda Fermiho energia úmerná $n^{2/3}$, kde n je koncentrácia elektrónov a na teplote závisí iba slabo. Pre ilustráciu, Fermiho energia pre meď je 7 eV, je to teda omnoho viac než tepelná energia kT. Z Fermiho energie ľahko spočítame Fermiho rýchlosť

$

E_F = \frac{1}{2}mv_F^2 \implies v_F = \sqrt{\frac{2E_F}{m}} $.

čo sa dá považovať za rýchlosť vodivostného elektrónu.

Brillouinove zóny

Samozrejme, elektróny v kryštalickej látke nie sú voľné, ale pohybujú sa v poli mriežky. Môžeme si predstaviť deBroglieho vlnu, ako putuje kryštálom. Predstavme si dvojrozmerný kubický kryštál s mriežkovou konštantou a. Nech sa vlna pohybuje šikmo doprava hore v smere zvierajúcom s osou y uhol $\theta$. Pokiaľ je vlnová dĺžka väčšia než mriežková konštanta, k difrakcii nedochádza a elektrón sa pohybuje voľne. Ak však vlnová dĺžka spĺňa Braggovu podmienku pre difrakciu na zvislej rovine

$ 2a\sin\theta = n\lambda

$

dochádza k difrakcii a takáto vlna sa kryštálom nemôže pohybovať. Obdobná podmienka platí pre vodorovné roviny. V reči vlnového vektoru vlna s k vektorom difraktuje, ak

$ k_x = \frac{m\pi}{a},k_y = \frac{n\pi}{a}

$

Vlny s menšími vektormi k sa budú pohybovať kryštálom voľne. Oblasť k-priestoru, v ktorej ležia konce týchto k-vektorov sa nazýva prvá Brillouinova zóna a v našom prípade má tvar štvorca. V prípade trojrozmernej mriežky je táto oblasť teleso s povrchom mnohostenu, ktorého tvar závisí na type mriežky kryštálu.

Na hranici 1. Brillouinovej zóny ležia vektory, ktoré elektrón nemôže mať ako svoj vlnový vektor. Taká vlna by bola stojatá a nikam sa nešírila.

Za hranicou sa nachádza 2. Brillouinova zóna povolených k-vektorov, potom ďalšia hranica, ďalšie zóny... zodpovedajú väčšej energii elektrónu.

Ako Brillouinove zóny ovplyvnia možné energie elektrónu? Predstavme si elektrónovú vlnu a vyberme jej nejaký konkrétny smer šírenia, v ktorom ukazuje k-vektor.

Ak má elektrón krátky k-vektor, je vnútri 1. zóny a elektrón je viac menej voľný, takže jeho energia je

$ \Epsilon = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}

$

Zväčšujme teraz dĺžku vektoru. Ako sa k-vektor blíži k hranici 1.zóny, začína byť elektrón viac ovplyvňovaný mriežkou a jeho energia klesá a je teda menšia, než na základe horeuvedeného vzťahu. Ak k-vektor prekročí hranicu a dostane sa do 2. zóny, má naopak väčšiu energiu, než by zodpovedalo tomuto vzťahu. Preto vznikne diera v možných energiách elektrónu(dajme tomu medzi $E_1$ a $E_2$), aspoň pre vybraný smer k-vektoru. Ak sa má elektrón pohybovať vo vybranom smere, nemôže mať energiu zozakázaného intervalu, nech by mal akékoľvek vlnové číslo. Na hodnote k, ktorá zodpovedá hranici 1. zóny, dochádza k skoku energie elektrónu.

To však ešte nutne neznamená, že táto energia je úplne zakázaná; možno v iných smeroch je hranica 1. zóny na inom k a zakázané energie budú iné(prekrývanie pásov). Ako celok javí kryštál zakázaný pás iba vtedy, ak jeho energetický interval spadá do zakázaných energií v každom smere.

Výsledná hustota stavov je na obr.; spočiatku vyzerá ako pre model voľných elektrónov, potom je však stavov viac(špička), pretože stavy sa nahustili blízko hranice 1.zóny. Ďalej už však stavov ubúda, najskôr v niektorých smeroch, kde je hranica 1.zóny najbližšie a nakoniec všetky a prichádza pás úplne zakázaných energií. Stavy sa opäť objavia až v druhej zóne, s podobnou závislosťou.

Hranica medzi obsadenými a neobsadenými stavmi v k-priestore sa nazýva Fermiho plocha - pre model voľných elektrónov to bola sféra, v skutočnej látke je jej tvar deformovaný mriežkou a prítomnosťou Brillouinových zón.

Efektívna hmotnosť

Pôsobenie mriežky na elektrón sa dá formálne popísať tak, že sa budeme tváriť, akoby bol elektrón voľný, avšak jeho efektívna hmotnosť $m^{\ast }$ závisí na vlnovom vektore k a táto závislosť je daná štruktúrou mriežky.

Elektrón v látke si predstavme ako vlnu s vlnovým číslom k, ktoré je dané hybnosťou a uhlovou frekvenciou $\omega$, ktorá je daná celkovou energiou. Nech na elektrón pôsobí elektrické pole intenzity E. Potom platí

$ q_eE = \frac{d(\hbar k)}{dt} = \hbar \frac{dk}{dt}

$

rýchlosť elektrónu je zhodná s grupovou rýchlosťou jeho vlny

$ v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{1}{\hbar}\frac{d\Epsilon}{dk}

$

Pre voľný elektrón je grupová rýchlosť úmerná vlnovému číslu k: $v_g=\hslash k/m$. V kryštáli vzťah približne platí pre vlny vnútri B. zóny, pri okraji však grupová rýchlosť padá do nuly, čo zodpovedá tomu, že vlny spĺňajúce difrakčnú podmienku sú stojaté. O kúsok ďalej v k sa už grupová rýchlosť opäť približuje k priamej úmernosti.

Newtonov zákon prepíšeme pomocou efektívnej hmotnosti $m^{\ast }$:

$ q_eE = m^* \frac{dv_g}{dt} = m^* \frac{dv_g}{dk} \cdot \frac{dk}{dt} = m^* \frac{1}{\hbar}\frac{d^2\Epsilon}{dk^2} \cdot \frac{q_eE}{\hbar}

$

Z toho vidíme, že efektívna hmotnosť je

$ m^* = \frac{\hbar^2}{\frac{d^2\Epsilon}{dk^2}}

$

Efektívna hmotnosť je funkciou vlnového vektoru a vo všeobecnosti závisí aj na jeho smere. Zaujímavé je, že môže nadobúdať aj nulové či záporné hodnoty. Nulovú hodnotu nadobúda na hranici Brillouinovej zóny, pretože stačí elektrónu dodať trochu hybnosti a on silne zvýši svoju energiu.

Všetky vzťahy odvodené v modeli voľných elektrónov(vzťah pre $E_F$, hustota stavov...) teraz ľahko opravíme tak, že nahradíme hmotnosť elektrónu jeho efektívnou hmotnosťou na Fermiho ploche. Pre väčšinu látok je efektívna hmotnosť blízka jeho normálnej hmotnosti, v prípade niektroých, ako napr. Co, Ni, Pt je oveľa väčšia - preto aj ich elektrónové merné teplo, úmerné hmotnosti, je značne väčšie.

V kryštáli pripadajú na jednu štruktúrnu jednotku 2 stavy(s opačným spinom). Aby bola látka izolátorom, musí spĺňať dve podmienky:

• Musí mať párny počet elektrónov vo valenčnej vrstve. Potom je valenčný pás úplne zaplnený.

• Vyšší, nezaplnený pás musí byť dosť ďaleko od valenčného; rozdiel energií musí byť oveľa väčší ako $k_{B}T$.

To spĺňajú napr. kremík(4e, 1,1 eV), alebo diamant(8e, 6 eV).

Vodiče niektorú podmienku nespĺňajú; napr. alkalické kovy majú jeden valenčný elektrón a ich valenčný pás je zaplnený do polovice. Iné, napr. zinok, síce majú dva elektróny, ale ich energetické pásy sa prekrývajú a niet energetickej medzery.(Zinok má dierovú vodivosť.)

Kovy

V kovoch je situácia taká, že obsahujú nezaplnený vodivostný pás, Fermiho energia je niekde v tomto páse. Pre elektróny okolo Fermiho hladiny potom nie je problém prechádzať do blízkych susedných stavov - tieto sa chovajú viacmenej ako voľné elektróny. Potom možno úspešne použiť Drudeho vzťah pre vodivosť, ak doň dosadíme koncentráciu týchto vodivostných elektrónov a za $\tau$ relaxačný čas

$ \tau = \frac{l}{v_F}

$

kde l je stredná voľná dráha elektrónu v mriežke.

Odbočka - merné teplo elektrónov

Paradox s chýbajúcim merným teplom elektrónov v kovoch vysvetlíme takto: väčšina elektrónov je potopených hlboko vo Fermiho mori a je málo pravdepdobné, že by tepelnými fluktuáciami získali energiu potrebnú na vyskočenie nad hladinu, kde sú voľné stavy. Jedine elektróny blízko Fermiho hladiny sú schopné prijať energiu rádu kT a tým prispieť k mernému teplu. Pomer počtu týchto vodivostných elektrónov ku všetkým je (z modelu voľných elektrónov) $k_{B}T/E_F$, teda veľmi malé číslo. Pre tepelnú kapacitu potom platí opravený vzťah(koncentrácia sa nahradí príslušným zlomkom):

$ c_e = \frac{3}{2}\frac{k_B T}{E_F}R

$

čo je veľmi málo: pri nízkych teplotách, keď vymrznú kmity mriežky sa však tento príspevok stáva dominantným. Kapacita je úmerná teplote, v súlade s meraniami.

Merný odpor

Čo určuje merný odpor látky? V skutočnosti sú tu dva druhy poruchy mriežky, ktoré spôsobujú elektrický odpor:

• I. častica sa rozptyľuje na kmitoch mriežky - tento príspevok k mernému odporu je priamo úmerný teplote(nad Debyeho teplotou je látka v klasickom režime, odpor je úmerný účinnému prierezu zrážky s atómom - úmerný ploche zabranej pri kmitaní - úmerná štvorcu amplitúdy - štvorec amplitúdy úmerný energii - úmerná teplote)

• II. častica sa rozptyľuje na nečistotách a stálych poruchách mriežky - tento príspevok od štruktúry nezávisí na teplote.

Takže platí Mathiessenovo pravidlo

$

\rho = \rho_{kmitov} + \rho_{strukt} $

Preto celkový merný odpor má priebeh ako na obr. Pri normálnych teplotách je úmerný T, pri nižších kmity mriežky vymrzávajú a zostáva iba merný odpor od stálych porúch. Preto čisté kovy (prvky, vyžíhané - bez porúch) majú veľmi nízky odpor(striebro, zlato, meď); zliatiny majú vo všeobecnosti vždy väčší odpor.

Nevodiče

Pri izolantoch je situácia taká, že majú úplne zaplnený valenčný pás a ďalší vodivostný pás je vysoko v nedohľadne, t.j. medzi pásmi je energetická medzera veľkosti $E_g$, v ktorej nie sú prístupné stavy. To je zakázaný pás. Elektróny z valenčného pásu za normálnych okolností nemôžu prejsť do vyššieho pásu, nemajú na to energiu. A tak v látke netečie prúd. Vodivosť je možné zvýšiť zvýšením teploty - viac elektrónov preskočí do vodivostného pásu, ale aj tak je vodivosť slabá.

Polovodiče

Sú niečo medzi kovmi a izolantmi. Takisto majú zaplnený valenčný pás a od vodivostného ho delí medzera, avšak táto je oveľa menšia, napr. iba 1,1 eV, čo už elektróny vcelku prekonávajú. Koncentrácia elektrónov je však stále dosť nízka a preto za normálnych okolností polovodiče majú iba malú vodivosť. Zvýšením teploty tu však na rozdiel od izolantov možno *výrazne * zvýšiť koncentráciu vodivostných elektrónov. Odpor polovodičov preto s rastúcou teplotou klesá.

Existujú dva základné druhy polovodičov:

• Vnútorné: sú to v podstate čisté látky bez prímesí, ako kremík, germánium, so zaplneným valenčným pásom. Pri nulovej teplote je Fermiho energia presne na polceste medzi zaplneným a prázdnym pásom. V takej látke sa počet elektrónov rovná počtu dier a je obyčajne dosť malý, preto je ich vodivosť iba malá.

• Vonkajšie: sú polovodiče s obsahom prímesí. Tieto prímesi buď darujú elektrón (donory) alebo ho prijímajú(akceptory).

Polovodiče typu n sú vonkajšie polovodiče s prímesou donorov, napr. kremík s prímesou fosforu. Fosfor sa zabuduje do mriežky pomocou štyroch väzieb a piaty elektrón uvoľní do tzv. donorovej hladiny, blízko vodivostného pásu. Excitovať tento elektrón do vodivostného pásu potom už nie je problém. Tak sa vo vodivostnom páse objaví elektrón a vo valenčnom páse kladná diera, pretože atóm fosforu je bez elektrónu kladne nabitý. Ak sa k látke teraz priloží elektrické pole, elektrón v hornom páse môže cestovať, rovnako ako diera dole vo valenčnom páse(diera cestuje tak, že do diery skočí blízky valenčný elektrón a diera sa tým posunie opačným smerom).

Vedenie prúdu tak prebieha v oboch pásoch, pričom hlavným, majoritným nosičom náboja sú elektróny.

image:Pnpasy.jpg

Polovodiče typu p sú na tom podobne, akurát obsahujú akceptorové prímesy (napr. indium s 3 valenčnými elektrónmi). Každý atóm akceptoru teda prijme k sebe navyše jeden elektrón, ktorý sa tak dostane do akceptorovej hladiny blízko valenčného pásu. Vo valenčnom páse na jeho mieste vznikne diera. Majoritným nosičom sú tu naopak diery.

Elektrická vodivosť kvapalín a plynov

Čisté kvapaliny, ako napr. destilovaná voda alebo 96% kyselina sírová, sú za normálnych okolností izolanty, pretože obsahujú veľmi málo nosičov náboja. Ak však obsahujú nejaké nečistoty(polárne látky), tie môžu disociovať na ióny a takýto elektrolyt už vedie elektrinu pomerne dobre; kladné a záporné nosiče náboja sa pohybujú pod vplyvom elektrickej sily, sú však brzdené rovnako veľkou Stokesovskou silou, úmernou rýchlosti. Nie každý ión sa pohybuje v kvapaline rovnako rýchlo - zavádza sa tzv. pohyblivosť iónu ako pomer rýchlosti a intenzity poľa:

$ p = v/E

$

najpohyblivejšie sú ióny $H^{+}$($p=3,3.10^{-7}$ jSI) a $O{H}^{-}$ ($p=1,8.10^{-7}jSI$). Výsledná rýchlosť iónov je úmerná elektrickému poľu a preto platí Ohmov zákon. Vodivosť elektrolytu stúpa s koncentráciou iónov.

Faradayho zákony elektrolýzy

Tieto triviálne zákony sú

• I. Vylúčená hmotnosť látky na elektróde je úmerná prúdu I a času t, ktorý sme elektrolyzovali.

• II. Počet mólov vylúčenej látky je úmerný prenesenému náboju - 1 mol látky zodpovedá $Ze{N}_A=Z.96494C$, kde Z je celočíselná konštanta - počet elementárnych nábojov iónu.(napr. pre Cu je to 2).

Elektrolýzou sa vyrába hliník, v špeciálnom elektrolyte - kryolite.

Emisia elektrónov z kovu

Za normálnych podmienok, pri nízkych teplotách sú vodivostné elektróny uväznené v kove. Energia, ktorú treba dodať elektrónu, aby sa z neho dostal, sa volá výstupná práca $A=e{\phi }_a$ a napríklad pre volfrám je to 4,5 eV. Potrebnú energiu môže elektrón získať od okolia; pritom platí, čím väčšia teplota, tým väčší prúd elektrónov. Ak má kov teplotu T, dá sa z Fermiho štatistiky pre plošnú hustotu elektrického prúdu vychádzajúceho zo zahriateho kovu odvodiť vzťah

$ j = BT^2e^{-\frac{e\varphi_a}{k_B T}}

$

ktorý dobre zodpovedá realite. E,misné schopnosti kovu sa výrazne zlepšia, ak sa pokryje tenkou vrstvou Cs, čo zníži výstupnú prácu na 1,36 eV. Hodnota konštanty B pre kombináciu W+Cs je 3,2.

Ionizácia plynu

Takisto plyny nie sú príliš dobré vodiče prúdu; všetko záleží na koncentrácii iónov v nich. Obvykle je v plyne dynamická rovnováha, kedy počet vznikajúcich a zanikajúcich iónov je rovnaký a ich stredná koncentrácia sa nemení. Napríklad v 1 $c{m}^3$ vzduchu vzniká asi 5 iónov za sekundu a ich hustota je asi 2000 iónov na $c{m}^3$. Ióny vznikajú jednak náhodne zrážkami molekúl(vysoké teploty), elektrickým poľom, ale najmä pod vplyvom ionizujúceho žiarenia pozadia a kozmického žiarenia.

Podľa prejavu delíme výboje v plynoch na

• tiché - ióny vznikajú vo veľkom objeme

• iskrové - veľký prenos náboja po silne ionizovanej dráhe

• oblúkové - medzi blízkymi elektródami; tie sú rozpálené a emitujú elektróny, ktoré vytvárajú veľké množstvo iónov

Ionizovaný plyn sa nazýva plazma.

Veľké množstvo iónov v plyne môže vzniknúť pod vplyvom elektrického poľa. To počas strednej voľnej doby urýchľuje už existujúci ión; ak tento nadobudne dostatočnú energiu, môže ionizovať inú molekulu(potrebná energia sa volá ionizačná energia). Tá sa rozletí na ióny, ktoré sú zase urýchľované,... vraví sa tomu ionizácia nárazom. Aby ión získal dostatočnú energiu, potrebuje mať dostatočnú voľnú dráhu bez zrážok s ostatnými molekulami, preto ionizácia nastane ľahšie pri nížšom tlaku plynu. Pre vzduch za normálnych podmienok je elektrická pevnosť vzduchu 300 kV/m.

Výboj za normálneho tlaku

Nežiadúcim výbojom je napr. koróna, čo je vedenie elektriny vzduchom medzi vodičmi vysokého napätia - spôsobuje straty. Tie sa znižujú používaním dutých vodičov - pri rovnako odpore majú menšie zakrivenie povrchu, čo eliminuje korónu.

Elektrický iskrový výboj medzi dvoma elektródami môže vzniknúť, ak je medzi nimi dostatočné napätie. Zaujímavé je, že toto napätie nerastie úmerne so vzdialenosťou elektród - pre väčšie vzdialenosti je potrebné napätie menšie, než by sme čakali(príklad: 30,8 kV na 1 cm, 69 kV na 5 cm). Výboj možno pozorovať napr. medzi dvoma uhlíkmi, s napäťovým rozdielom aspoň 30 V(zapaľovacie napätie): najskôr uhlíky priblížime, potom vzdialime. Medzi uhlíkmi vznikne vrstva silne ionizovaného vzduchu(5000 K). Elektróny dopadajúce na kladný uhlík v ňom vytvárajú kráter a tento uhlík silne žiari(záporný uhlík žiari menej). Zaujímavé na iskrovom výboji medzi uhlíkmi je, že vôbec nespĺňa Ohmov zákon, ba naopak - s rastúcim prúdom rastie teplota a tým aj ionizácia, čo znižuje potrebné napätie. Používajú sa pri oblúkovom zváraní a v oblúkových peciach. Antiseminář

Podobný oblúk vzniká medzi kovovými elektródami - to sú ortuťové a sodíkové lampy.

Výboj za zníženého tlaku

V zriedenom plyne dôjde k výboju omnoho ľahšie, pretože ióny majú veľkú dráhu, pozdĺž ktorej sú urýchľované. Takýto výboj sa vola tlejivý(doutnavý).

Čo prebiehe v trubici pri výboji? Elektrické pole urýchľuje prítomné ióny, tie narážajú do molekúl a vytvárajú ďalšie ióny. Pritom kladné ióny sú omnoho ťažšie, takže sa pohybujú omnoho pomalšie. V trubici je teda viac kladných nábojov a vzniká kladný priestorový náboj, ktorý zoslabuje pole pri anóde a zosilňuje pri katóde. Preto pri katóde vzniká veľký spád potenciálu a tu plyn najviac svieti(katódové svetlo). Ak je trubica dosť úzka, vzniká svetlo aj na anóde - anódové svetlo. Charakter svetla pritom silne závisí na stupni zriedenia plynu.

Anódové svetlo sa využíva v Geisslerovej trubici - výbojky,žiarivky. Neónové tlejivky(využívajú katódové svetlo) potrebujú pre zapálenie vysoké napätie, po zapálení však svietia aj pri veľmi malom napätí.

Odkazy

http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Fyzikaprobakalare/PDF/3_10_Magneticke_vlastnosti.pdf