Zkouška Kolman 27. 5. 2025

Bodování

• 0–29 = 4

• 30–36 = možné ústní přezkoušení

• 37–60 = známky 3–1

1.

Co víte o vlastních vektorech příslušných k různým vlastním číslům dané matice? Přesně formulujte a dokažte.

2.

Rozhodněte, zda matice $C = \begin{pmatrix} -7 & -4 & -8 \\ 4 & 3 & 4 \\ 8 & 4 & 9 \end{pmatrix}$ a $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ jsou podobné.

3.

a)

Napište znění Sylvestrova zákona setrvačnosti kvadratických forem.

b)

Nechť $A = \begin{pmatrix} 1&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&1 \end{pmatrix}$. Najděte matici $B$ a diagonální matici $D$ takové, že $BAB^T = D$.

4.

Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

a)

Determinant matic $A = \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 8&7&6&4 \\ 9&10&11&12 \\ 16&15&14&13 \end{pmatrix}$ a $B = \begin{pmatrix} 1&1&1&0 \\ 1&1&0&1 \\1&0&1&1 \\ 0&1&1&1 \end{pmatrix}$ je stejný.

b)

Pro každé dvě matice $A$, $B$ (typu $n \times n$) komplexních čísel platí: Jsou-li $\lambda_1, ..., \lambda_n$ vlastní čísla matice $A$ a $\lambda'_1, ..., \lambda'_n$ vlastní čísla matice $B$ (každé vlastní číslo bereme s jeho algebraickou násobností), pak $\lambda_1 \cdot \lambda'_1, ..., \lambda_n \cdot \lambda'_n$ jsou vlastní čísla matice $(AB)$.

c)

Kvadratická forma $f(x) = x^T \begin{pmatrix} -2&-1 \\ 0&-3 \end{pmatrix} x$ na $\mathbb{R}^2$ nabývá pouze záporných hodnot, s výjimkou vektoru $x = (0, 0)^T$.

Úkol 1 se ptá na lineární nezávislost vlastních vektorů různých vlastních čísel.