ahoj, myslite ze byste sem mohl nekdo napsat tenhle dukaz? nezda se mi uplne trivialni, ve vsech poznamkach co mam je tam preskoceny nejaky krok, budu vam vdecny :)
geckon at 2009-02-16 14:01:28
Čau,
pokud víš, jak dokázat, že bázi R(A) tvoří prvních r řádků RREF(A) a že bázi S(A) tvoří bázické sloupce A, tak z toho vyplývá, že velikost obou bází je r (hodnost A). Stačí takto?
sZtorkie at 2009-02-16 17:20:28
Dukaz ma nekolik casti, zkusim nejak jednoduse shrnout, o co tam jde (kdyztak me opravte):
prevest matici A do odstupnovaneho tvaru A'
dim S(A) = dim S(A'):
A' = RA - vezmeme vektory w' z S(A') a w z S(A); ukazeme, ze w' = Rw (par kroku)
vyjadrime w vuci nejake bazi S(A) (v1,...,vd) - suma pujde od 1 do d = dim S(A); ukazeme, ze kdyz w' = Rw, tak po rozepsani w jde dat R do sumy a vyjde nam system generatoru S(A') (v'1,...,v'd) - tato suma jde taky od 1 do d, z cehoz plyne, ze dim S(A') <= dim S(A)
to same bychom meli ukazat i opacne, aby byla videt rovnost (v podstate pouze preznaceni carek) - protoze A = R^(-1)*A'
dim S(A') = dim R(A'):
obrazkem - sloupce s pivoty tvori bazi S(A'), nenulove radky bazi R(A'); libovolny vektor z S(A') dokazu prepsat jako linearni kombinaci podle pivotu
dim R(A) = dim R(A'):
elementarni operace nemeni R() -> staci najit A' v odst. tvaru; nenulove radky v ni tvori bazi R(A') a je jich presne rank(A) (z definice hodnosti + pozorovani u dukazu, ze ekvivalentni upravy nemeni mnozinu reseni)
takze dim S(A) = dim S(A') = dim R(A') = dim R(A) = rank (A)
